در نظری? دستگاههای هامیلتونی انتگرال پذیر مطالعه های زیادی چه از نظر هندسی و چه از نظر مکانیکی انجام یافته است و ریاضیدانان بسیاری از دیدگاه های مختلف به این نظر پرداخته اند‎.‎ در این رساله، برخی دستگاههای انتگرال پذیر را از نظر توپولوژیکی مورد بررسی قرار می دهیم و برخی نتیجه های جدید در دستگاههای انتگرال پذیر را تشریح می کنیم. در دستگاه هامیلتونی انتگرال پذیر در حالت ساکالف بر جبر لی ‎$so(4)$‎ هم? ناورداهای فومنکو-زیشانگ و ماتریسهای چسب مولکولهای رویه های هم انرژی بدست می آیند. در دستگاه هامیلتونی انتگرال پذیر در حالت باریسف-مامایف-ساکالف بر جبر لی ‎$so(4)$‎ توپولوژی هم? رویه های هم انرژی دیاگرام انشعاب بدست می آید. همچنین توپولوژی برگ بندی لیوویل برای حالت انتگرال پذیر باریسف-مامایف-ساکالف بر جبر لی ‎$so(4)$‎ مورد مطالعه قرار می گیرد‎.