فرض کنیم rیک حلقه جابجایی و یکدار و همه مدولها یکانی باشند.مدولهای انژکتیو خالص دارای نقش اساسی در جبر جابجایی و نظریه مدولها می باشد.در میان تعمیمهایی از این مفهوم،مدولهای انژکتیو به طور خالص به طور گسترده ای مورد مطالعه قرار گرفته اند. دنباله دقیق کوتاه 0 a b c 0 از r- مدولها و r- همریختی ها به طور دوری خالص( [4 ]و [5]) نامیده می شود: اگر نگاشت تولید شده برای هر ایدهال i از r یک به یک باشد. همچنین یک r- مدولd ،انژکتیو به طور دوری خالص است:اگر برای هر دنباله به طور دوری خالص 0 a b c 0، همریختی تولید شده hom (b,d) hom (a,d) پوشا باشد. به طور کلی برای کلاس s از r- مدولها دنباله دقیق کوتاهs – خالص و مدول انژکتیو s- خالص تعریف می شود. در حالتی که s کلاس r- مدولهای به طور متناهی نمایش پذیر باشد، دنباله دقیق کوتاه s- خالص و مدولهای انژکتیوs- خالص به طور ساده دنباله دقیق کوتاه خالص و مدولهای انژکتیو خالص نامیده می شوند. در حالتی که s کلاس همهr- مدولهای به فرم ، آنگاه دنباله دقیق کوتاهs- خالص و مدولهای انژکتیوs- خالص دنباله rd-دقیق و مدولهای rd-انژکتیو نامیده می شوند. )ببینید([3]. در قسمت اول هدف ما طبقه بندی حلقه های جابجایی است که در آن مدولهای rd- انژکتیو و مدولهای انژکتیو به طور دوری خالص یکی هستند. همچنین حلقه های را طبقه بندی می کنیم که در آن مفهوم انژکتیو خالص و انژکتیو به طور دوری خالص یکی هستند. در ادامه به دنبال مشخص سازیهای برای حلقه های نیمه ساده و دامنه های صحیح با استفاده از مدولهای انژکتیو خالص، انژکتیو به طور دوری خالص و rd- انژکتیومی باشیم.

در این پایان نامه خاصیت انژکتیوی مربوط به زیرمدول های بسته را بررسی می کنیم. فرض کنیم r یک حلقه باشد. یک r- مدول x، c- انژکتیو نامیده می شود اگر برای هر زیرمدول بسته l از هر r- مدول m، هر همریختی از l به x را بتوان به m توسیع داد. نشان می دهیم اگر r حوزه صحیح ددکیند باشد، آنگاه r-مدول x، c- انژکتیو است اگر و تنها اگر با یک حاصلضرب مستقیم از r- مدول های نیم ساده همگن و r- مدول های انژکتیو یکریخت باشد. همچنین ثابت می کنیم حوزه صحیح نوتری r، ددکیند است اگر و تنها اگر هر r- مدول ساده، c- انژکتیو باشد. در فصل اول تعاریف و مطالب مقدماتی مورد نیاز برای مطالعه فصلهای بعدی آورده شده است. در این پایان نامه فرض شده است که خواننده با مفاهیم جبر جابه جایی و نظریه مدول ها و حلقه ها آشنا است، با این حال در فصل اول، تعاریف و قضایای مورد نیاز تا حد قابل توجهی گنجانده شدهاست. در این فصل هدف آن است که صورت قضایا و احکامی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرد آورده شود و اثبات برخی از آن ها ارجاع داده شده است. فصل دوم نیز مقدمه ای برای ادامه مطالب این پایاننامه است. در این فصل حلقه های ارزه، حلقه های ارزه گسسته، و در نهایت حوزه صحیح ددکیند به طور مبسوط مورد مطالعه قرار گرفته است. در فصل سوم r- مدول های p- خالص – انژکتیو روی یک مجموعه بزرگ از حلقه های r مشخص می شوند. تمامی احکام و قضایای این فصل به طور مشروح اثبات شده اند. در فصل چهارم زیر مدول های p- خالص روی یک حلقه کامل چپ معین می گردند. در فصل پنجم رابطه بین زیرمدول های بسته زیرمدول های p- خالص از یک r- مدول بیان می شود. در فصل آخر نشان می دهیم که حوزه صحیح نوتری r ددکیند است اگر و تنها اگر هر r- مدول ساده c- انژکتیو باشد.

فرض کنید ‎$ r $‎ یک حلقه موضعی با یک زوج دقیق ‎ x‎ ,‎y ‎ از مقسوم علیه های صفرباشد که به وسیله هنریکو و سگا تعریف شده است. با فرض این که این زوج عمود بوده و یک عنصر( ‎ r‎ / ‎left( x‎ , ‎y igh- منظم موجود باشد، یک خانواده نامتناهی غیر یک ریخت تجزیه ناپذیر از مدول ها می سازیم که تحلیل آزاد مینیمال آنها متناوب با دوره تناوب 2 $‎ بوده و به طور کلی بازتابی است. ساختار مذکور به سوال مطرح شده به وسیله کریستنسن و پیپ میر، استریولی و تاکاهاشی پاسخ می دهد. در ضمن به محاسبه مدول هم ریختی های بین دو مدول در خانواده نامتناهی مذکور در بالا می پردازیم.

فرض کنیم ?:x?y یک نگاشت پیوسته پوشا بین فضاهای هاوسدورف فشرده باشد. نگاشت? ‎ به وسیله ی عمل ترکیب همریختی یک به یک ‎ بین حلقه های توابع پیوسته حقیقی مقدار متناظر می کند. با توجه به این همریختی ‎ c‎ (‎ y‎ ‎)‎ را به‎‎عنوان یک زیر حلقه از ‎ c‎ (‎ x‎ )‎ ‎قلمداد می کنیم. این پایان ‎‎نامه به ارتباط خواص جبری توسیع حلقه c(y)?c(x) ‎ با خواص توپولوژیکی نگاشت ?:x?y می پردازد. ثابت می کنیم که اگر توسیع c(y)?c(x) دارای یک عنصر ابتدایی باشد‏، یعنی c‎ (‎ x‎ )‎ =‎ c‎ (‎ y‎ )‎ [‎ f‎ ‎]‎ آن گاه توسیع متناهی بوده و در نتیجه نگاشت ‎‎ به طور موضعی یک به یک است. به علاوه برای هر عنصر ابتدایی‎f‎‏، ایده آل ‎ ‎ ‎‎ ‎را‎ در نظر گرفته و ثابت می کنیم که برای فضای همبند‎y‎ ‎‏‏‏،‏ i_f‎یک‎ ایده ال اصلی است اگر و تنها اگر ?:x?y‎ پوشش بدیهی باشد. ‎‎‎‎ کلمات کلیدی: حلقه هایی از توابع پیوسته‏، عنصر ابتدایی‏، توسیع متناهی‏، توسیع انتگرال، ایده آل اصلی، چند جمله ای تکین‏، پوشش‏، پوشش بدیهی.‎ ‎‎