روشهای عددی متداول برای حل معادلات تابعی مانند روش تفاضلات متناهی ، و روشهای کلاسیک مانند روش سری های فوریه یا دارای حجم محاسبات بالا هستند و یا دسته ی خاصی از معادلات را حل می کنند. از این رو محققان به دنبال روشها ی جدید برای حل این گونه معادلات هستند. از جمله ی این روش ها می توان به روش های آشفتگی هوموتوپی، توابع نمایی، و بسط g/g ، اشاره کرد که در این رساله مورد بحث و بررسی قرار گرفته اند. در این رساله، مقایسه ای بین روش تجزیه ی آدومین و روش آشفتگی هوموتوپی ارائه شده است. با توجه به این که مقالات زیادی در مورد روش آدومین به چاپ رسیده است، با نشان دادن معادل بودن دو روش می توان این مقالات را به راحتی به روش هوموتوپی نیز تعمیم داد. اگر چه تا کنون معادلات بسیاری به کمک روش آشفتگی هوموتوپی حل شده اند اما انتخاب جواب اولیه و یا ساختار هوموتوپی مناسب از مشکلات این روش است. در این رساله سعی می شود با ارائه اصلاحات و تغییراتی در روش آشفتگی هوموتوپی و همچنین بحث روی همگرایی روش، تا اندازه ای به حل این مشکلات پرداخته شود. همچنین به تشریح روش های توابع نمایی و روش بسط g/g که برای به دست آوردن جواب دقیق معادلات با مشتقات جزیی مورد استفاده قرار می گیرند، پرداخته شده است. این روش ها به گونه ای تعمیم داده می شوند که قابلیت به دست آوردن جواب انواع دیگری از معادلات از جمله معادلات دیفرانسیل-تفاضلی، معادلات دیفرانسیل معمولی و دستگاه معادلات دیفرانسیل را نیز داشته باشند. در چند دهه اخیر روش های مثلثاتی روش های متداول برای به دست آوردن جواب دقیق این معادلات بوده اند. لذا برای نشان دادن قابلیت ها و مشکلات روش های توابع نمایی و روش بسط g/g ، مقایسه ای بین آنها و روش های مثلثاتی ارائه می شود.

در این پایان نامه روش تکرار وردشی را که توسط جی-هوان خی در سال 1998 برای حل معادلات تابعی پیشنهاد شده است، معرفی می کنیم. در فصل اول پیش زمینه های کار بیان می شود، در فصل دوم به معرفی روش می پردازیم، و همگرایی آن نیز مورد بررسی قرار می گیرد. در فصل سومروش تکرار وردشی برای حل دستگاه معادلات انتگرال تعمیم داده می شود. برای نشان دادن قابلیت و کارایی روشمثال هایی ارائه می شود و نتایج به دست آمده با جواب دقیق معادلات مقایسه می شود. در ادامه روش تکرار وردشی ترکیب شده با چندجمله ای های آدومین را برای حل معادلات انتگرال ولترا به کار می بریم. در فصل چهارم برنامه های نرم افزار میپل 15 را برای حل معادلات انتگرال ارائه می کنیم.

بسیاری از مدل¬های شناخته شده در علوم طبیعی و مهندسی و امروزه در اقتصاد به معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته هستند. بنابراین، تأثیرجواب¬های تحلیلی یا عددی این نوع از معادلات نقش روزافزونی در حیطه تکنولوژی ایفا می¬کند.روش¬های مختلفی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی خطی و غیرخطی وجود دارند. در این پایان نامه، روش خطوط، تفاضلات متناهی و آشفتگی هوموتوپی مورد مطالعه قرار گرفته و نتایج به دست آمده از روش خطوط با نتایج حاصل از روش¬های دیگر با هم مقایسه شده است. مثال¬های متنوعی برای نشان دادن توانایی این روش¬ ارائه شده است.

روش های آشفتگی هوموتوپی و تکرار وردشی توسط جی- هوان خی در سال های 1998 و 1999 برای حل معادلات تابعی پیشنهاد شده اند. در این پایان نامه روش های آشفتگی هوموتوپی و تکرار وردشی برای حل مسائل گوناگونی از معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی، معادلات انتگرال و دستگاه های آن ها به کار رفته اند و برخی ایده های جدید در ضمن حل این معادلات نیز بیان می شود. با مطالعه اصلاحات انجام شده در روش آشفتگی هوموتوپی، روش جدید آشفتگی هوموتوپی که بر پایه انتخاب هوموتوپی و جواب اولیه مناسب استوار است، معرفی می شود. این روش جدید برای حل دسته های گوناگون معادلات تابعی استفاده می شود. روش دیگری که در این پایان نامه مورد بررسی قرار گرفته، روش تکرار وردشی می باشد. همچنین مطالعه همگرایی روش های هوموتوپی تکرار وردشی ارائه شده و در برخی موارد نتایج حاصل از روش جدید آشفتگی هوموتوپی و روش تکرار وردشی مقایسه شده است.