در این پایان نامه، ابتدا معادله دیراک به عنوان یک معادله موج نسبیتی مورد بررسی قرار می گیردو توابع موج اسپینوری آن برای ذره آزاد بدست آورده می شود. سپس معادله دیراک در حضور جمله پائولی مورد بررسی قرار می گیرد و معادلات دیفرانسیل مربوط به هر اسپینور در دستگاه مختصات استوانه ای به صورت تحلیلی حل می شود و تابع موج فرمیون ها و طیف انرژی آن ها محاسبه می شود. در تلاشی دیگر معادله دیراک برای پتانسیل کولن بصورت جبری مورد بررسی قرار می گیرد و برای حل آن از نظریه گروه و نمایش پایه ????( به عنوان روشی برای حل مسئله استفاده می شود. همچنین با استفاده از نمایشهای گروه ( 2 ????( و جبر ( 2 های این جبر، تابع موج حالت پایه برای پتانسیل کولن بدست آورده می شود و با استفاده از عملگرهای نردبانی، سایر توابع موج اسپینورها نیز بدست می آید. سپس مسئله بصورت تحلیلی حل و نتایج این دو روش مشاهده می شود که نتایج کاملا یکسانی خواهند داشت. در نهایت نیز طیف انرژی فرمیون ها در پتانسیل کولن محاسبه می گردد. از آنجایی که حل دقیق سیستم های کوانتومی نقش مهمی در مکانیک کوانتومی ایفا می کند امروزه تعدادی از پتانسیل ها در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی به صورت دقیق حل شده و طیف انرژی و توابع موج آنها بصورت دقیق بدست آورده شده است. در سال های اخیر نیز توجه زیادی برای مطالعه معادلات موج نسبیتی صورت گرفته است ] 8و 9و 3[ که در این میان حل معادله دیراک به عنوان یک معادله موج نسبیتی که به نتایج فیزیکی قابل قبول منجر می شود اهمیت فراوانی داشته و نقش مهمی در مکانیک کوانتومی ]4[ نسبیتی ایفا می کند. فیزیکدانان تلاش های قابل ملاحظه ای را برای حل معادله دیراک با پتانسیل های فیزیکی مانند نوسانگر 4 1[ و ... انجام دادند و تعداد حل های دقیقی که در این [ 7[ ، ایکارت 1 [ 6[ ، چاه پتانسیل دوگانه متقارن 7 [ 5[ ، کولن 6 [ ، مورس 5 زمینه وجود دارد رو به افزایش است که در آنها از روش های استاندارد متفاوتی استفاده شده است. یکی از این روش های استاندارد، حل معادله دیراک به روش جبری و با استفاده از نظریه گروه ها می باشد.