در دهه ی اخیر تعدادی از محققان به بررسی خاصیت خطی زیرمجموعه عایی از توابع پرداخته اند که ساختار خطی ندارند. در این پایان نامه، ما به بررسی خطی پذیری چگال ماکسیمال، فضاپذیری و فضاپذیری ماکسیمال دسته ای از زیرمجموعه های فضاهای لبگ وابسته به یک فضای اندازه می پردازیم.

در این پایان نامه، خطی پذیری و جبرپذیری برخی مجموعه های توابع پیوسته، مشتق پذیر، توابع همه جا پوشا ، انتگرال پذیر ریمان و انتگرال پذیر و اندازه پذیر لبگ را مورد مطالعه قرار می دهیم.

فضاهای اورلیچ تعمیم فضاهای لبگ هستند. این فضاها را ریاضیدان لهستانی و. ر. اورلیچ در سال ‎1932‎ معرفی کرد. ایده ی اصلی فضاهای اورلیچ جایگزین کردن تابع توانی ‎$|t|^p$‎ در تعریف فضاهای لبگ با یک تابع محدب دلخواه است. ریاضیدانان بسیاری این فضاها را از دیدگاه آنالیز تابعی مورد مطالعه قرار داده اند، برای مثال می توان به دو کتاب ارزشمند ‎cite{kr}‎ و ‎cite{rr}‎ اشاره کرد. اما از لحاظ آنالیز همساز پیشرفت چشمگیری در مورد ساختار فضاهای اورلیچ صورت نگرفته است. در سال ‎1965‎ اونیل برای اولین بار عملگر پیچش را برای این گونه فضاها بررسی کرد. در سال های ‎1985‎ و ‎1989‎ خوش تعریفی عمل پیچش روی فضاها ی اورلیچ وابسته به یک گروه آبلی و تابع یانگ پیوسته ی داده شده بررسی شده است. در سال های اخیر ش. وُنپ و ف. اِستِرُبین با استفاده از مفهوم تخلخل نتایج جالبی در مورد ضرب نقطه ای و پیچش در فضاهای لبگ بدست آورده اند. موضوع اصلی این پایان نامه تعمیم و گسترش این نتایج به فضاهای اورلیچ است. این پایان نامه مشتمل بر پنج فصل است. در فصل اول به بیان مقدمات و پیش نیازهای لازم می پردازیم. در این فصل در مورد توابع یانگ، فضاهای اورلیچ، نرم روی این فضاها و ویژگی های آن، ساختار دوگانِ فضاهای اورلیچ و مفهوم تخلخل، مطالبی به طور اجمال آورده شده است. در فصل دوم شرط های لازم و کافی برای این که فضای اورلیچ تحت ضرب نقطه ای به جبر باناخ تبدیل شود ارائه شده است. در فصل سوم ارتباط بین ساختار گروه توپولوژیک و خوش تعریفی عمل پیچش بین دو عضو دلخواه از یک فضای اورلیچ تحت شرایط کاملاً طبیعی روی تابع یانگ ‎$phi$‎ آورده شده است. در فصل چهارم نیم ساده بودن و وجود همانی تقریبی کراندار در فضاهای اورلیچ مورد بررسی قرار گرفته است. سرانجام در فصل پنجم به ارائه ی نمایشی برای همریختی های ‎-$l^phi(g)$‎مدول راست می پردازیم. به علاوه، ضربگرها روی فضاها ی ‎$m^phi(g)$‎ را مشخص می کنیم.

در این پایان نامه، به بررسی خطی پذیری و جبری پذیری مجموعه های متنوعی از توابع از جمله توابع با اکسترمم های سره، توابع بی نهایت بار مشتق پذیر، توابع انتگرال پذیر لبگ و توابع با مشتق های انتگرال ناپذیر را بررسی می کنیم. در بخش پایانی نشان می دهیم مجموعه ی توابع پیوسته ای که دارای سری فوریه واگرا هستند نیز چگال-جبرپذیر است.

فرض کنیم ‎$‎‎‎ u‎$‎ یک دنباله وزنی بر ‎$‎‎‎mathbb{z}‎$‎ و ‎$‎‎‎‎varphi‎‎$‎ و ‎$‎‎‎‎‎psi‎‎‎$‎ توابع مختلط مقدار روی ‎$‎‎‎mathbb{z}‎$‎ باشند به طوری که ‎$‎‎‎.‎varphi‎(mathbb{z})‎subseteq ‎mathbb{z}‎$‎‎ در‎ این پایان نامه‏، کراند‎‎اری‏، فشردگی‏ و فشردگی ضعیف عملگرهای ترکیبی وزن دار ‎$‎‎‎c_{‎psi‎‎, ‎varphi‎}‎$‎‎ را بر پیش دوگان فضاهای باناخ ‎$‎‎‎c_0(mathbb{z}, dfrac{1}{ u})‎$‎‎ و دوگان فضاهای باناخ ‎$‎‎‎ell^‎infty‎(mathbb{z}, dfrac{1}{ u})‎$‎‎ جبرهای بیورلینگ ‎$‎‎‎ell^1(mathbb{z}, u)‎$‎‎ را بررسی خواهیم کرد.