در این پایاننامه با استفاده از روشهای تحلیل پدید ?? توان یافت، به طوری که منحن ?? خم م ?? ی n n کنیم. برای هر ماتریس ?? را تعیین م n بعد آورنده کران و پوسته محدبش با برد عددی ماتریس منطبق است. همچنین در حالت خاص برد با ?? کنیم. در ادامه ماتریسهای ?? بیان م ?? ? را از نقطه نظر هندس ? و ? عددی ماتریسهای ? ماتریس ?? بودن ی ?? برای طیف ?? کرده، به ویژه شرایط لازم و کاف ?? برابر را بررس ?? شعاع عددی و طیف کرده ?? برابر را بررس ?? با شعاع عددی و طیف ?? کنیم. بهطور مشابه چندجملهایهای ماتریس ?? را بیان م کنیم. ?? را بیان م ?? چندجملهای ماتریس ?? بودن ی ?? برای طیف ??

سیستم معادلات که عموماً در کاربردها ظاهر می شوند غیر خطی اند و پیدا کردن جواب تحلیلی آن ها معمولاً میسر نیست. پیدا کردن تقریب مناسب برای این جواب ها از اهمیت فراوانی برخوردار است. در این مطالعه به حل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی با روش تبدیل دیفرانسیل می پردازیم‎.ین پایان نامه شامل5‎ فصل است‎.‎ فصل اول، به تعاریف و مفاهیمی که در سایر فصل ها مورد استفاده قرار می گیرد اختصاص داده شده است. در این فصل مواردی از قبیل: روش لاپلاس و ویژگی های آن (تبدیل لاپلاس و جمع جبری، تبدیل لاپلاس و ضرب، تبدیل لاپلاس و مشتق آن)، تبدیل لاپلاس مشتق یک تابع،روش مستقیم،روش نیوتن-لایبرشتاین ومسئله غیرخطی ملایم با مقدار مرزی مورد بررسی قرار می گیرند.در فصل دوم، روش عددی تبدیل دیفرانسیل که بر پایه بسط تیلور بنا نهاده شده است، مطرح می شود. این روش یک جواب تقریبی به شکل چندجمله ای به ما می دهد. روش تبدیل دیفرانسیل یک روش تکراری برای به دست آوردن جواب های سری تیلور است. در این روش زمان کمتری برای حل معادلات دیفرانسیل صرف می شود.در این بخش روش تبدیل دیفرانسیل برای مسئله های خطی با مقدار اولیه به کار گرفته شده است. از روش تبدیل لاپلاس برای به دست آوردن جواب دقیق معادلات دیفرانسیل استفاده می کنیم تا با روش تبدیل دیفرانسیل مقایسه شود و کارایی روش تبدیل دیفرانسیل را نشان دهد. در این روش محاسبات زیاد و پیچیده نیست. در ادامه این فصل، سه دستگاه معادلات دیفرانسیل را بررسی می کنیم دستگاه هایی که در آن ها عدد ثابت به کار رفته شده تبدیل دیفرانسیل متفاوتی نسبت به بقیه دستگاه ها دارند. دو مثال با عدد ثابت استفاده شده و روش تبدیل دیفرانسیل برای آن ها توضیح داده شده است. همچنین با استفاده از نمودارها و جدول ها جواب تبدیل دیفرانسیل با جواب دقیق مقایسه شده است.در فصل سوم، تبدیل دیفرانسیل دو بعدی را معرفی می کنیم ‎در ادامه قضیه های مربوط به آن را بیان می کنیم و در پایان مثال هایی از دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی خطی و غیر خطی را ارائه خواهیم کرد.فصل چهارم به تبدیل دیفرانسیل سه بعدی اختصاص داده شده است. پس از معرفی تبدیل دیفرانسیل سه بعدی، قضایای مربوطه را خواهیم داشت و در نهایت مثالی از این تبدیل دیفرانسیل خواهیم آورد.در فصل پنجم تبدیل دیفرانسیل را برای مسئله های خطی و غیرخطی با مقدار مرزی به کار می بریم.از بین مسئله های مقدار مرزی، مسئله های ملایم را انتخاب می کنیم و جواب ها را با روش نیوتن-لایبراشتاین و روش مستقیم مقایسه می کنیم. این دو روش محاسبات طولانی دارند، لذا کارایی روش تبدیل دیفرانسیل را با جدول ها و نمودارهایی که با استفاده از برنامه‎matlab‎ رسم می شوند، نشان می دهیم.

نظریه معادلات دیفرانسیل دارای سابقه ی طولانی است که با تحقیقات نیوتن‎‎ آغاز شد. نیوتن قادر به حل مسئله ی دو جسم (حرکت زمین به دور خورشید) گردید و نتیجه این بود که نیروی جاذبه ی گرانش متناسب با عکس مجذور فاصله بین آن هاست. تلاش ریاضی دان ها و فیزیک دان ها برای تعمیم مسئله به سه جسم (خورشید، زمین، ماه) منجر به فهم این نکته شد که حل مسئله ی سه جسم اساساً غیرممکن است. تلاش برای یافتن پاسخ مسئله، زمانی به اوج خود رسید که این سوال مطرح شد: " آیا منظومه ی شمسی پایدار است؟ " در اواخر سال ‎1800‎ میلادی شخصی به نام هانری پوانکاره‎ ‎ با دید جدیدی به مسئله نگریست و مسئله ی پایداری یا ناپایداری سیستم خورشیدی را مورد توجه قرار داد و امکان بروز آشوب را مطرح ساخت. اما متأسفانه تا قرن بیستم توجه چندانی به مسئله ی آشوب نشد. یکی از ویژگی های اساسی سیستم های آشوبی، حساس بودن آن ها نسبت به شرایط اولیه است در واقع نظریه ی آشوب، مرتبط با سیستم هایی است که دینامیک آن ها نسبت به تغییر مقادیر اولیه، رفتار بسیار حساسی نشان می دهند، به طوری که رفتار آینده ی آن ها دیگر قابل پیش بینی نیست. این سیستم ها از نوع سیستم های دینامیکی غیرخطی هستنند.‎ با کشف کامپیوترهای با سرعت بالا در اواخر دهه ‎1950‎ میلادی، دانشمندان توانستند معادلاتی را حل کنند که قبل از آن ممکن نبود و لذا درک و آگاهی در مورد سیستم های غیرخطی افزایش یافت، در نتیجه پیشرفت در سیستم های آشوبی موفقیت های بزرگی را پدید آورد ‎. در سال ‎1963‎ ادوارد لورنز‎ با معرفی یک سیستم آب و هوایی آشوبی گام مهمی در این زمینه برداشت ‎. در سال ‎1999‎ چن‎‎ و یوتا‎ دوگان سیستم لورنز را معرفی کردند ‎و در سال ‎2002‎ لو‎‎ و چن سیستمی بین چن و لورنز کشف کردند ‎‎. بعد از آن افراد دیگری در این زمینه به موفقیت هایی دست یافتند که می توان به سیستم لیو‎‎، سیستم جدید شبه لورنز‎‎ و پن‎‎ سیستم اشاره کرد. اخیراً تایگان‎‎ سیستم دینامیکی سه بعدی به نام ‎ -‎t ‎سیستم را که بسیار شبیه به سیستم لورنز است معرفی کرد که در این پایان نامه به بررسی آن می پردازیم .‎ ازجمله مسائلی که آشوب را مورد توجه قرار می دهد نوسانگــرهای غیرخطی و کاربرد آن ها در فیــزیک و علوم مهنــدسی از جمله لیــزر، رادار و رادیــو است. در سال های اخیر آثار تجربی آشوب در سیال ها، مدارهای الکتــرونیکی، نوسانگرهای مکانیــکی و نیمه رساناها بررسی شدند ‎. ‎‎ این پایان نامه شامل ‎3‎ فصل است. در فصل اول، ابتدا به بیان تعاریف و مفاهیم مقدماتی مورد نیاز دیگر فصل ها می پردازیم. سپس محک راث - هورویتز‎را معرفی می کنیم و در نهایت توضیحات مقدماتی از منیفلد مرکز و فرم نرمال ارائه می دهیم‎.‎ در فصل دوم، به معرفی سه سیستم دینامیکی می پردازیم. این سیستم ها عبارتند از سیستم لورنز، چن و لو، که این سیستم ها را با توجه به ماتریس خطی سازی شده ی ‎ دسته بندی می کنیم. علاوه بر این در هریک از سیستم ها به بررسی نقاط تعادل و شرایط موجود برای داشتن انشعاب هپف یا چنگال می پردازیم. همچنین قضایایی در این زمینه بیان و اثبات می کنیم. در فصل سوم، سیستم جدیدی به نام ‎‎ -‎t ‎سیستم معرفی می شود که پس از به دست آوردن نقاط تعادل آن به بررسی انشعاب هپف و چنگال می پردازیم و با استفاده از قضیه ی فرم نرمال، مسیر انشعاب هپف و پایداری جواب های منشعب شده از آن را مشخص می کنیم. در فصل دو و سه نتایج عددی را با استفاده از نرم افزار ‎matcont‎ ارائه می دهیم.

فرض کنید x یک مجموعه و y زیر مجموعه x و f تابعی از y به x باشد. هدف نظریه ی نقطه ثابت تعیین شرایطی روی x و یا تابع f است به طوری که وجود یک نقطه ثابت برای f تضمین شود. بررسی وجود نقطه ثابت در بسیاری از مسائل کاربردی مانند قضایای وجودی در معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال، نظریه کنترل، تابرابریهای مینی ماکس، نابرابری تغییراتی و ...دارای کاربردهای اساسی می باشد. هدف اصلی ما بیان قضایای نقطه ثابت در قضایای متریک جزئا مرتب می باشد. سپس کاربرد این قضایا را در نظریه معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال، مساله مقدار مرزی منتاوب با تاخیر و معادلات غیرخطی بیان می کنیم.