این پایان نامه در پنج فصل تدوین شده است که در آن ابتدا مفاهیم اولیه وتعاریف مقدماتی رابیان می کنیم. سپس حل عددی معادلات انتگرال دیفرانسیل خطی فردهلم مرتبه های بالا با ضرایب مختلف, روش تفاضلات متناهی چبیشف برای معادله انتگرال دیفرانسیل فردهلم و روش هم مکانی لژاندر برای معادلات انتگرال دیفرانسیل کسری را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم.

هدف این پایان نامه معرفی دو تبدیل کانترویچ-لبدف و مهلر فک و بیان کاربردهای آنهااست. که ابتدابه خواص هسته این تبدیلات اشاره می کنیم و مقدماتی از تبدیلات انتگرالی را بیان می کنیم, در ادامه تبدیل کانترویچ-لبدف رامعرفی میکنیم و کاربردهای آن را بیان می کنیم که عبارتند از استفاده تبدیل کانترویچ-لبدف برای تحلیل معادله شرودینگر منظم,به دست آوردن فرمول جمع بندی پواسون,حل پذیری معادلات انتگرالی تلفیق,جواب مسایل مقدار مرزی. همچنین تبدیل مهلر-فک را معرفی می کنیم و از آن برای حل مسایل مقدار مرزی بهره میگیریم.

در این رساله ابتدا به معرفی عملگر خودالحاق l می پردازیم که به صورت l =d/dx (p(x) d/dx) + r(x); lu + φ(x)u = 0. مشخص می شود، و مسئله مقدار ویژه lu + λp(x) = 0, x ∋ (a,b), (1) با شرایط مرزی مجزا α1u(a) + α2u′(a) = 0 |α1| + |α2 > 0, β1u(b) + β2u′(b) = 0 |β1| + |β2| > 0. را مسئله ی اشتورم - لیوویل نامیده و آن را به دو صورت منظم و منفرد مورد بررسی قرار می دهیم. ثابت می کنیم که اگر مقادیر ویژه از این معادله وجود داشته باشد، حقیقتی اند و توابع ویژه متناظر با هر مقدار ویژه ی حقیقی متعامدند. این مطلب را برای مسائل اشتورم - لیوویل کسری، که در آن از عملگرهای کسری استفاده شده تعمیم می دهیم. همچنین تبدیلات انتگرال متناهی را معرفی کرده و تبدیلات انتگرال متناهی اشتورم - لیوویل، فوریه، هنکل و لژاندر را مطرح می کنیم و معکوس آن ها را با استفاده از نظریه ی سری فوریه به دست می آوریم. لازم به ذکر است که این تبدیلات متناهی در حل مسائل مقدار مرزی بسیار مفید واقع می شوند.