گرافهای وابسته به مدولها که در این پایان نامه مطالعه میگردند، در سه نوع دسته بندی میشوند که با توجه به نوع مدولی که برای آن تعریف شده اند دارای خواص و ویژگی های متنوعی میگردند. با مطالعه و بررسی این خواص، ویژگی های تازه ای در ارتباط با این گرافها حاصل میگردد.

این پایان نامه ادامه مطالعه گراف ایده آل پوچساز حلقه های جابجایی معرفی شده در [6] می باشد. فرض کنید r یک حلقه جابجایی با a(r) مجموعه ایده آل ها با پوچساز غیر صفر و z(r) مجموعه ای از مقسوم علیه های صفر باشد. گراف ایده آل پوچساز حلقه r به عنوان گراف (بی جهت) ag(r) که رأس های آن a(r)* = a(r) {(0)} تعریف می شود که در آن برای تمام رأس های مجزای i و j، i—j یک یال است اگر و تنها اگر ij = 0. در ابتدا قطر گراف ag(r) مورد مطالعه قرار می گیرد. یک توصیف کامل برای قطر، به طور منحصر به فرد در روابط ایده آل های r داده می شود هنگامیکه، یا حلقه r یک حلقه نوتری باشد یا z(r) یک ایده آل از حلقه r نباشد. سپس، رنگ آمیزی گراف های ایده آل پوچساز مورد مطالعه قرار می گیرد و همچنین ?(ag(r)) ? 2 یا حلقه r تقلیل یافته و?(ag(r)) ? ? را مشخص می کنیم. این نتایج نشان می دهند که برای هر حلقه تقلیل یافته r، ?(ag(r)) = cl(ag(r)). علاوه بر این، اگر ?(ag(r)) متناهی باشد، آن گاه حلقه r تعداد متناهی ایده آل اول مینیمال دارد و اگر n این عدد باشد، آن گاه ?(ag(r)) = cl(ag(r)) = n. در آخر، نشان داده می شود که برای یک حلقه نوتری r، cl(ag(r)) متناهی است اگر و تنها اگر برای هر ایده آل i از r با i^2=0، i تعداد متناهی r – زیر مدول داشته باشد.

فرض کنید rیک حلقه جابحایی وa(r) مجموعه ای از ایدال ها با پوچساز مخالف صفر باشد. در این مقاله و دنباله اش گراف ایدا پوچسازr را که باag(r) نشان داده می شود معرفی و بررسی می شود. گراف ایدال پوچساز یک گراف غیر جهت داراست با رأس های a(r)*=a(r)/{(0)}و دو رآس متمایزi و jمجاورند اگر و تنها اگرij=(0) . ابتدا بعضی از شرایط متناهی بودن ag(r)را بررسی می کنیم. به عنوان مثال نشان داده می شود که اگر r یک حوزه صحیح نباشد آنگاهag(r) روی رأس هایش دارای شریط زنجیر صعودی(به ترتیب شرط زنجیر های نزولی) خواهد بود اگر و تنها اگرr نوتری(به ترتیب ارتینی) باشد.به علاوه مجموعه رئوس ag(r)و مجموعه ایدا های سره ناصفر r عدد اصلی یکسانی دارند هنگامی کهr یک حلقه آرتینی و یا یک حلقه قابل تجزیه باشد . با این نتیجه برای حلقه r،ag(r)دارای nتا رآس (n>1)خواهد بود اگر و تنها اگر rدارای nتا ایدال سره ناصفر باشد. سپس همبندی ag(r)را بررسی خواهیم کرد. نشان داده خواهد شدag(r) که یک گراف همبند است و diam(ag(r))<3 و اگر ag(r)شامل یک دور باشد آنگاهgr(ag(r<4))و همچنین حلقه های rکه در آنag(r)یک گراف کامل یا ستاره و نیز حلقه های r که در آن هر راس ag(r)یک ایدا اول (ماکسیمال) است بررسی خواهد شد.

گراف های وابسته به مدول ها که در این پایان نامه مطالعه می گردند، در سه نوع دسته بندی می شوند که با توجه به نوع مدولی که برای آن تعریف شده اند دارای خواص و ویژگی های متنوعی می گردند. با مطالعه و بررسی این خواص، ویژگی های تازه ای در ارتباط با این گراف ها حاصل می گردد.