پایان نامه حاضر به صورت زیر تنظیم شده است. در فصل اول تعاریف و نتایج مقدماتی آورده شده است. در فصل دوم اشتقاقهای ‏‎-*‎‏ ژردان روی ‏‎-*‎‏حلقه های تعریف و شکل کلی آنها برای جبر عملگر استاندارد روی یک فضای هیلبیرتی به صورت زیر ثابت گردیه است: اگر ‏‎h‎‏ یک فضای هیلبرتی مختلط یا حقیقی با بعد بزرگتر از یک و ‏‎ِa b(h)‎‏ عملگر استاندارد باشد، آنگاه هر اشتقاق ‏‎-*‎‏ژردان ‏‎j: a->b(h)‎‏ به صورت ‏‎j(a)=at-ta‎‏ برای بعضی مقادیر ‏‎t b(h)‎‏ و هر ‏‎a a‎‏ می باشد. علاوه بر آن در حالتی که ‏‎‏‎t‎‏ یک عملگر نرمال باشد بسته بودن یا خودالحاقی برد ‏‎j‎‏ بررسی شده است. در فصل سوم نشان می دهیم که چگونه اشتقاقهای ‏‎-*‎‏ ژردان به عنوان یک وسیله بکار می روند تا شبه تابعک های درجه دوم توسط توابع دو خطی نمایش داده شده و در نتیجه به تابعک های درجه دوم تبدیل شوند، و بخصوص قضیه مشخص سازی فضاهای پیش هیلبرتی ژردان وان نیومن تعیم داده شده است. بالاخره در فصل چهارم زوج اشتاقهای ‏‎*‎‏ژردان را روی یک جبر مختلط بیان کرده و با مطالعه دستگاه معادلات تابعی: ‏‎e(x3)=e(x)x×2 + xf(x)x× + x2e (x)‎‏‏‎f(x3)=f (x)x× 2+ xe(x)× + x2 f(x)‎‏جوابهای کامل را در نمونه های از جبرهای مشخص تعیین گردیده است.