ما در این پایان نامه، مفهوم ?-n?ایزوکلینیسم را به کلاس همه ی زوج گروههای (g,m)،که ? m?زیرگروه? ?نرمال ? g?است، توسعه داده و سپس با مطالعه جزئیات این مفهوم، تعدادی شرایط هم ارز را برای دو زوج گروه? ?پیدا می کنیم.? ??-n?ایزوکلینیک? ?به علاوه با معرف ?-n?ساقه زوج گروهها، زیرگروه-تحویلناپذیر و خارج قسمت-تحویلناپذیر نسبت به? ??-n?ایزوکلینیسم، ثابت می کنیم که ?-n?ساقه زوج گروهها، خارج قسمت-تحویلناپذیر نسبت به ?-n?ایزوکلینیسم? ?هستند و در حالت کلی تر، هر زوج گروهی که در شرط (? zn (m, g) ? ?n+1 (m, g?صدق کند، هم زیرگروه-? ?تحویلناپذیر و هم خارج قسمت-تحویلناپذیر نسبت به ?-n?ایزوکلینیسم می باشد.?

گراف توان غیرجهت دار از نیم گروه ، گراف غیرجهت داری است که مجموعه رئوس آن و دو راس با هم مجاور هستند اگروفقط اگر و یا باشد، برای عدد صحیح مثبت . در این پایان نامه ما کلاس نیم گروه های که در آن همبند یا کامل است را مشخص می کنیم. به عنوان یک نتیجه اثبات می کنیم که برای هر گروه متناهی همبند است و کامل است اگروفقط اگر گروه دوری از مرتبه یا باشد. بخصوص نیم گروه ضربی و زیرگروه اش ، که یک مولفه اصلی از است را بیشتر مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین ثابت می کنیم که کامل است اگروفقط اگر یا باشد که عدد اول فرما است. در کل تعداد یال های برای گروه متناهی را حساب می کنیم و این نتیجه را برای تعیین مقادیری از که به ازای آنها مسطح است، بکار می بریم. سرانجام نشان می دهیم برای هر گروه دوری از مرتبه بزرگتر یا مساوی ، همیلتنی است و مقادیری از که با ازای آنها دور همیلتنی ندارد را لیست می کنیم.

مفهوم حاصل ضرب تانسور ناآبلی‏، برای اولین بار توسط وایتهد‎‎ و تانسور مربعی ناآبلی توسط کیت دنیس‎‎ معرفی ‎شد‎ و برخی از نظریه های اولیه ی تانسور مربعی ناآبلی در کارهای‎ سی. میلر‎‎ ‎‎مورد بررسی قرار گرفته است. ‎‎‎ بعد از آن ‎‎آر. برون و جی. لودی‎ ‏،هنگام بررسی نتایج قضیه ی‎‎ ون کمپن‎ ‏حاصل ضرب تانسور ناآبلی را به صورت نتیجه ای از این قضیه مورد توجه قرار دادند. در سال ‎1987 ‎ ‎ تعاریف و محاسباتی با جزئیات کامل درباره ی حاصل ضرب تانسور ناآبلی‏ در مقاله ای بوسیله ای‎ آر. برون‏، دی‏، جانسون‎‎ ‎‎ و ای. ربرتسون‎‎‎‎ به چاپ رسید که بعدها باعث جلب توجه ریاضیدانان و این مفهوم به عنوان موضوعی در نظریه ی گروه ها گردید. در این پایان نامه مقاله ای تحت عنوان " برخی نتایج ساختاری روی تانسور مربعی ناآبلی گروه ها " از‎‎ آر. بلایتس‎‎ اف. فوماگالی‎‎ و‎‎ ام. مریجی‎ که‎ در سال ‎ 2009 ‎ ‎ به چاپ رسید‏ و ‎مرجع‎ این پایان نامه است‏، مورد بررسی قرار می گیرد. این پایان نامه شامل دو فصل است که فصل اول شامل‏، چهار بخش است که در بخش اول‏، تعاریف و قضایای مربوط به گروه‏‏، خواص جابجاگرها‏ و دنباله های دقیق که مورد نیاز هستند‏، جمع آوری شده است. در بخش دوم‏، ابتدا حاصل ضرب تانسوری معمولی گروه ها بیان می کنیم تا خواننده تفاوت آن را با حاصل ضرب تانسور ناآبلی‏، بیشتر درک کند. سپس حاصل ضرب تانسور ناآبلی‏ و خواص آن ها و تانسور مربعی ناآبلی بیان و قضایای مقدماتی اثبات شده و رابطه ی بین حاصل ضرب تانسوری معمولی و حاصل ضرب تانسور ناآبلی‏‏، بیان می شود. در بخش سوم‏، به بیان قضایای مرتبط با تانسور مربعی ناآبلی که در بخش های بعد به کار می رود‏، می پردازیم. در بخش چهارم‏، گروه های پوچتوان و حل پذیر و قضایای مربوط به آن ها را بیان می کنیم. فصل دوم شامل‏، سه بخش است که در بخش اول‏، ابتدا گروه خاصی از خارج قسمت گروه حاصل ضربی به نام ‎nu ‎(g)‎ ‎ معرفی می کنیم و روابط موجود و قضایای حاکم بر آن را بیان و اثبات می کنیم و در این بخش ارتباط بین تانسور مربعی را با زیرگروه نرمالی از ‎ ‎ u ‎(g)‎ بیان می کنیم که از آن برای یافتن کران هایی برای تانسور مربعی ‎ -p ‎ گروه ها استفاده خواهد شد. در بخش دوم‏، مربع خارجی ناآبلی گروه ها را مورد بررسی قرار می دهیم و در بخش سوم‏، کران هایی برای تانسور مربعی -p ‎ گروه ها و ضربگر شور -p ‎ گروه ها به دست می آوریم.

هدف این پایان نامه معین کردن همه نمایشهای تصویری تحویلناپذیر 2- گروههای حلقوی و گروه ‏‎‎‏‏‎ =(a,b,c a =b =c =1,b ab=ac,c ac=a ,c bc=b)‎‏می باشد. بدین منظور ما گروههای نمایش و حاصلضرب شر این گروهها را محاسبه می کنیم سپس در این راستان مجموعه عاملهای این گروهها را در نظرمی گیریم و با استفاده از گروه جبرهای پیچشی وابسته به این مجموعه عاملها همه نمایشهای تصویری تحویلناپذیر غیر هم ارز این گروهها را معین می کنیم.