استفاده از روشهای طیفی در سالهای اخیر بسیار متداول گشته و تمایل جهت بکاگیری این روشها برای حل معادلات دیفرانسیل افزایش یافته است. در این تحقیق مسائل مقدار مرزی بیضوی با شرایط مرزی مختلف، با روشهای شبه طیفی و تاو، با استفاده از چند جمله ایهای لژتدرو چبیشف حل شده اند. پس از معرفی عملگرهای مشتق و چگونگی اعمال شرایط مرزی، شرایط قوی و ضعیف معرفی شده و مقایسه ای بین خطاها و عددهای حالت این نوع مسائل ارائه می شود.با توجه به بالا بودن عدد حالت ماتریسهای نهایی در روش شبه طیفی، این ماتریسها بدحالت می باشند. با معرفی چند پیش شرط ساز در مسائل مقدار مرزی بیضوی این اعداد کاهش پیدا می کنند.روشهای گرادیان مزدوج ‏‎(cg)‎‏ و ‏‎cgs‎‏ و ‏‎bi-cgstab‎‏ (در توسیع از روش ‏‎cg‎‏) و ‏‎gmres‎‏ و ‏‎richardson‎‏ برای حل دستگاههای جبری معرفی شد و با حل مسائل مختلفی تعداد تکرار، زمان محاسبات و خطاها در روشهای فوق با هم مقایسه شده اند.پس از معرفی برخی از روشهای تجزیه دامنه، ماسئل متعددی با شرایط مرزی مختلف و تجزیه دامنه اصلی به دو، سه، چهار و نه زیر ناحیه حل شده، گزارشهای مختلفی از خطاها د این مسائل ارائه می شود. در مساله تجزیه دامهه به چهار زیردامنه در دستگاههای نهایی روش شبه طیفی. تغییراتی اعمال گردیده و برای حل آن، روش جدید ارائه می شود. در این روش ماتریس دستگاه نهایی روش شبه طیفی به چند ماتریس کوچکتر شکسته شده و در نتیجه از کار با ماتریس بزرگ اولیه پرهیز می شود. زمان محاسبات در این روش از زمان محاسبات با بقیه روشهای متداول کمتر خواهد بود.(مرجع اصلی این تحقیق مقاله ایست که توسط کارلنزول و جرواسیو در سال 1992 ‏‎[3]‎‏ ارائه شده است.)