پیشرفت عظیم فیزیک در دو قرن اخیر را باید مرهون نظریه معادلات دیفرانسیل دانست . این معادلات اساس فیزیک نظری را تشکیل می دهند که معادلات دیفرانسیل جزیی مهمترین بخش این نظریه می باشند. در این راستا کاربرد معادلات جزیی در مسائل انتقال حرارت و ترموالاستیک از اهمیت خاصی برخوردار است . به عنوان نمونه می توان از کارهای بزرگ فوریه در قرن نوزدهم و ناسلت در قرن بیستم در زمینه انتقال حرارت و همچنین کارهای پیشگامانه دافرموس بر روی ترموالاستیسیتی خطی که باعث پیشرفت قابل ملاحظه ای بر روی مفاهیم ریاضی ترموالاستیسیتی گشته نام برد. در این پایان نامه به دو مسئله جدا از هم خواهیم پرداخت : یکی در انتقال حرارت و دیگری در ترموالاستیک. در واقع در مورد مسئله انتقال حرارت نشان خواهیم داد که اگر جواب این مسئله در دامنه ای نیمه متناهی یک نرم افزار انرژی کراندار باشد انگاه این جواب بایستی در یک نرم انرژی ، هنگامی که از انتها متناهی دامنه دور می شویم به صورت نمایی نزول پیدا می کند. بدین منظور در فصل 3 ابتدا یک برآورد انرژی برای جواب مسئله به دست آورده و سپس با استفاده از قضایای آنالیز ریاضی یک برآورد نزولی برای آن خواهیم یافت. فصل 4 جوابهای دو مسئله گرمایی با ضرایب پخشی متفاوت را مقایسه خواهیم کرد و نامعادله صریحی را که نشاندهنده وابستگی پیوسته به این ضریب است به دست خواهیم آورد در پایان نیز برای یک میله ترموالاستیک با میرایی ضعیف غیر خطی با استفاده از یک نامساوی انتگرالی ترکیب شده با روش ضربی ، برآوردی از افت انرژی به دست خواهیم آورد.