در این پایان نامه پیش شرط گذارهای انتگرال گیری برای تقریبات شبه طیفی عملگرهای دیفرانسیل خطی مرتبه اول و دوم را بررسی می نماییم. تقریبات بر پایه چند جمله ایهای فوق کروی (چند جمله ایهای لژندار و چبیشف) و بر اساس نقاط انتگرال گیری گاوس- لوباتو می باشند. مقادیر ویژه طیف عملگرهای پیش شرط گذاری شده به شکل تحلیل بدست آورده می شوند و شرایط مرزی به طور ضعیف اعمال می گردند. طیف عملگر انتقال (وزش) پیش شرط گذاری شده کراندار و مستقل از مرتبه ‏‎n‎‏ می باشد. در مورد عملگر انتشار (پخش) پیش شرط گذاری شده، برای شرایط مرزی دیریکله شعاع طیفی متناسب با ‏‎n‎‏ رشد می کند در حالیکه برای شرایط مرزی نیومن شعاع طیفی متناسب با ‏‎ ‎‏‎n‎‏ رشد می کند. همچنین یک پیش شرط گذاری از عملگر تاو برای معادلات دیفرانسیل معمولی معرفی می شود . عدد حالت ماتریس حاصل از روش تاو اصلاح شده کمتر از ماتریس حاصل از روش تاو معمولی می باشد. در اینجا همچنین روشهای طیفی جدیدی به نام روشهای طیفی روی شبکه های دلخواه مورد بررسی قرار می گیرند. برخلاف روشهای طیفی معمولی که به گره های فرمول انتگرال گیری گاوس-رادو یا گاوس- لوباتو بستگی دارند، این روشها به توزیع گره های بخصوص، بستگی ندارند.