حلقه ‏‎r‎‏ زنجیری است، هر گاه برای هر دو ایده آل اول ‏‎p<q‎‏ از ‏‎r‎‏، تمام زنجیرهای اشباع شده از ایده آلهای اول بین ‏‎p‎‏ و ‏‎q‎‏ دارای یک طول باشند.تاول، فرمول ارتفاع زیر را برای جبرهای پوشاننده جبرهای لی حل پذیر ثابت کرده است: ‏‎height (p)+gkdim(r/p)=gkdim(r)‎‏ برای تمام ایده آلهای اول ‏‎p‎‏ از ‏‎r‎‏.‏‎sei-qwon oh‎‏ ثابت کرده است که یک خانواده از حلقه های چند جمله ای اریب مکرر زنجیری هستند، هرگاه پارامترهای ویژه ای ریشه واحد نباشند.در این پایان نامه ابتدا تعریفها و خاصیتهای بعد گلفاند - کیریلوف بیان شده اند. سپس، روش گبر برای اثبات زنجیری بودن توضیح داده شده است. در پایان، زنجیری بودن و فرمول ارتفاع تاول برای خانواده ای از حلقه های چند جمله ای اریب مکرر شامل جبرویل کوانتیده چند پارامتری، حلقه مختصات فضای همتافته کوانتومی و حلقه مختصات فضای اقلیدسی کوانتومی بدست آمده اند. بعلاوه، بعضی از مفاهیم مرتبط با بعد گلفاند - کیریلوف نیز معرفی شده اند.