پسین پولیا یک روش بیزی ناآگاهی بخش برای نمونه گیری از جمعیت های متناهی است که وقتی هیچ اطلاع پیشینی درباره جمعیت در دسترس نباشد و یا اطلاعات ناچیز باشد، این روش را به کار می بریم. در نمونه گیری از جمعیت های متناهی غالباً اطلاعات پیشین، به صورت اطلاعات جزئی از متغیر کمکی در دسترس است. به عنوان مثال ممکن است میانگین معلوم باشد. در این حالت معمولاً از برآورد گر نسبتی و برآورد گر رگرسیونی برای برآورد میانگین جمعیت استفاده می کنیم. یکی از فواید برآورد چارک های جمعیت، تشخیص صحیح توزیع پارامتر جمعیت است. هدف ما، برآورد ناپارامتری چندک های جمعیت است، در شرایطی که اطلاعات پیشین کمی درباره جمعیت وجود دارد و یا زمانی که هیچ اطلاعیوجود ندارد. اگرچه معمولاً در نمونه گیری از جمعیت متناهی اطلاعات پیشین وجود دارد، اما حالت بی اطلاعی نیزامکان پذیر است. توجه داشته باشید که برای برآورد میانگین جمعیت با استفاده از تابع زیان مربعات خطا، برآورد میانگین پسین پولیا همان میانگین نمونه است. واریانس میانگین نمونه با روش پسین پولیا مجانباً با واریانس محاسبه شده از روش های استاندارد فراوانی گرا برای نمونه های تصادفی ساده یکسان است. همچنین برآورد میانگین جمعیت از روش پسین پولیا با برآورد میانگین جمعیت با روش استاندارد فراوانی گرا کاملاً مشابه می باشد. هدف ما، برآورد چارک های جمعیت با استفاده از توزیع پسین پولیا است، وقتی نمونه تصادفی ساده داشته باشیم. با توجه به خواص کلی روش پسین پولیا، بین برآوردهای فاصله ای پسین پولیا و برآوردهای فاصله ای روش فراوانی گرا ارائه شده توسط اریکسون، هم ارزی مجانبی وجود دارد. علاوه بر این، تحت شرایط خاص، برآوردپسین پولیا چندک های جمعیت با استفاده از خواص بیز مرحله به مرحله روایی دارد. در بخشی از آمار که مربوط به نمونه گیری از جمعیت متناهی است معمولاً از اطلاعات پیشین در استنباط استفاده می شود. در بیشتر حالات این اطلاعات پیشین به صورت روش های بیزی مطرح نمی شود به این معنی که این اطلاعات ما را به یک توزیع پیشین واضح و روشن هدایت نمی کند. در روش های پیش بینی، یک مدل در نظر گرفته می شود و بعد از مشاهده نمونه، پارامترهای مجهول آن برآورد می شود. در روش های فراوانی گرا اطلاعات پیشین در طرح نمونه به کار می رود به این صورت که به عنوان مثال از طرح نمونه گیری احتمالی استفاده می کنیم. باسو (1998) نشان داد که بعد از مشاهده نمونه، طرح نمونه گیری هیچ نقشی در توزیع پسین روش های بیزی ندارد. همواره در نمونه گیری های پیمایشی تاکید در برآورد میانگین جمعیت بوده است. که معمولاً در این حالت میانگین متغیر کمکی در جمعیت به عنوان یک اطلاع پیشین معلوم است، در نتیجه برآوردگر های نسبتی و یا رگرسیونی برای برآورد میانگین پارامتر مجهول به کار می رود. پس زمانی که برآوردهای دیگری غیر از میانگین جمعیت مثل چندک ها در نظر باشد، وقتی اطلاع پیشین از متغیر کمکی غیر از میانگین آن باشد نیاز به ارائه روش های جدیدتری داریم. در این رساله در فصل اول به معرفی روش بیز مرحله به مرحله و توزیع پسین پولیا می پردازیم. سپس در فصل دوم روشی برای برآورد فاصله ای چندک های جمعیت با استفاده از توزیع پسین مطرح می نماییم. در فصل سوم ابتدا به بررسی برآوردگرهای میانگین به دست آمده از روش های بیزی می پردازیم و سپس روش پسین پولیای قیدی را برای برآورد پارامترهای جمعیت معرفی می نماییم. در نهایت به کمک شبیه سازی نشان می دهیم برآورد فاصله ای چندک پارامتر مجهول بر اساس پسین پولیا و روش برآورد استاندارد فراوانی گرا مشابه می باشند. همچنین روش های زنجیره مارکف مونت کارلو را برای پیدا کردن مقدار برآورد بر اساس توزیع پسین پولیا شرح می دهیم.

این رساله شامل سه بخش می باشد. در بخش اول، فرآیندهای هیلبرت مقدار همبسته متناوب فضایی اتورگرسیو مرتبه اول مطالعه می شود. این مطالعه شامل ساختن مدل، وجود، نمایش میانگین متحرک دامنه زمان می شود. همچنین این مدل بر یک مجموعه داده های واقعی شامل عکس های ماهواره ای برازش شده است. در بخش دوم، فرآیندهای هیلبرت مقدار همبسته متناوب فضایی در دامنه فرکانس مطالعه می شود. همسازی این نوع فرآیندها بحث خواهد شد و گسترش طیف تصادفی روی فضای هیلبرت معرفی خواهد شد و یک چگالی طیفی وابسته به حالت برای میدانهای تصادفی همبسته متناوب فضایی داده خواهد شد. بخش سوم رساله به موضوع فرآیندهای هیلبرت مقدار مانای فضایی اتورگرسیو مرتبه p خواهد پرداخت. ما شرط کافی برای کازال بودن فرآیند و وجود نمایش میانگین متحرک را ارائه می کنیم. سپس پارامترهای مدل با یک روش کمترین مربعات برآورد خواهد شد. یک مطالعه شبیه سازی برای ارزیابی پارامترهای برآورد شده نیز تدارک دیده شده است.

در این پایان نامه در مورد استنباط ناپارامتری بیز و کاربردهای آن در مدلهای خطی بحث می کنیم. حالتی را در نظر می گیریم که توابع توزیع مجهول، به خاطر پارامترهای تصادفی خود متغیرهای تصادفی هستند . به وسیله اندازه های احتمال تصادفی، می توانیم توزیعهای پیشین مختلفی را برای توابع توزیع تصادفی در نظر بگیریم.این رساله شامل یک مقدمه و چهار فصل می باشد. در فصل اول نمونه گیری گیبس را که یک نوع الگوریتم می باشد معرفی نموده، در مورد آن بحث می کنیم. این الگوریتم برای یافتن چگالهای پسین در آمار نیز مفید است. در فصل دوم، رگرسیون خطی بیز و چند موضوع مرتبط با آن را مطالعه می کنیم. در فصل سوم، فرآیند دیریکله و چند اندازه ی تصادفی دیگر را مانند درخت پولیا و فرآیند بتا - مقیاسی ‏‎(beta- stacy)‎‏ معرفی می کنیم. آنگاه یک روش جالب به وسیله ی چند جمله ایهای برنشتاین برای برآورد چگالیها در آمار نیز ارائه خواهد شد. در فصل چهارم، به مطالعه ی مدلهای رگرسیون خطی که خطا در آنها چگالی متقارن و تک نمایی در صفر دارد، خواهیم پرداخت. روشهای بیزی برای بررسی این مدلها نیز ارائه خواهد شد. این فصل همچنین شامل استنباط بیز برای رگرسیون نیمه پارامتری بیز به وسیله ی سریهای فوریه می باشد. سرانجام روشهایی برای رگرسیون لجستیک بیز ارائه خواهیم کرد.