فرض کنیم i یک ایده ال سره منظم در حلقه نوتری r باشد. ثابت میکنیم که حلقه ای چون a، که توسیعی صحیح آزاد و ساده از حلقه r بوده، وجود دارد به طوری که ایده ال ia دارای یک پایه rees-good است و آن عبارت است از پایه c1,…cg بطوری که برای تمام حلقه های ارزیابی ریس w ازia، ciw =iw. علاوه بر آن ممکن است aساخته شود به طوری که: 1- iaو i دارای اعداد ریس یکسان باشند .( با احتمال اینکه رتبه های متفاوت داشته باشند .) 2- برای هر مقسوم علیه اول مجانبی pاز ia ، ap روی rp?rغیر قابل انشعاب است. در واقع اگر hیک ایده ال منظم در r باشد به طوری که هر مقسوم علیه اول مجانبی ازh مشمول در یک مقسوم علیه اول مجانبی i باشد، آنگاه شرط (2) برای ha اتفاق می افتد . اگرcard(rees h)?card(rees i) نشان میدهیم که شرط (1) هم برای ha و هم برای h اتفاق می افتد. همچنین اگر i=(b1,….bg)rو b1,….bg یک دنباله مجانبی باشد، نشان میدهیم که b1,….bg یک پایه rees-good از i می باشد.

استفاده از موجودات بیولوژیک مانند میکروارگانیسم ها و عصاره گیاهان می تواند جایگزینی روش های فیزیکی و شیمیایی تولید نانوذرات باشد به گونه ای که به محیط زیست نیز صدمه ای وارد نشود.در این راستا در این پژوهش بیوسنتز نانوذرات نقره با استفاده از عصاره برگ کرچک و تاتوره انجام شده است. تاثیر غلظت های مختلف نیترات نقره(1،2و3 میلی مولار)و زمان (2و 24 ساعت) در میزان سنتز مورد ارزیابی قرار گرفت.نتایج اولیه حاکی از تغییر رنگ عصاره برگ از زرد به قهوه ای تیره بود که شاخصی اولیه در تولید نانوذرات نقره می باشد.آنالیز طیف سنجیuv-visibleوجود یک پیک درnm420را نشان داد که حاکی ازبیوسنتز این نانوذرات در عصاره است. همچنین بررسی ها با دستگاه uv-visibleپس از 8 ماه پایداری نانوذرات در عصاره را تایید کرد. آنالیز طیف سنجیftirنقش گروه های عاملی مختلف (کربوکسیل، کربوکسیلیک اسید ،هیدروکسیل و زنجیر هیدروکربنی )را در فرایند سنتز نشان داد، نتایج الگوی پراش اشعه ایکس، وجود الگوی صفحات کریستالی 111، 200، 220 و 311 را نشان داد، این طیف ها مربوط به نانوذرات نقره می باشد. در نتیجه منحنی پراش وجود ساختارهای کریستالی مکعبی وجوه پر را در عصاره حاوی نانوذرات نقره بیوسنتز شده تایید کرد. بررسی خاصیت ضدباکتریایی نانوذرات نقره بیوسنتز شده در عصاره برگ تاتوره و کرچک بر علیه باکتری staphylococcus aureus،حاکی از تشکیل هاله عدم رشدmm8برای عصاره کرچک وmm11برای تاتوره در اطراف دیسک آغشته به عصاره حاوی نانوذره نقره با غلظتmm3و تشکیل هاله عدم رشد به قطر mm6 در اطراف دیسک آغشته به یون نقره با غلظتm1/0 می باشد. همچنین بررسی خاصیت ضدباکتریایی نانوذرات نقره بیوسنتز شده در عصاره برگ تاتوره و کرچک بر علیه باکتریe.coli، حاکی از تشکیل هاله عدم رشدmm9 برای عصاره کرچک وmm10 برای تاتوره در اطراف دیسک آغشته به عصارهحاوی نانوذره نقره با غلظتmm3و تشکیل هاله عدم رشد به قطرmm8در اطراف دیسک آغشته به یون نقره با غلظتm1/0 می باشد. همچنین هیچ گونه هاله عدم رشدی در اطراف دیسک آغشته به عصاره شاهد مشاهده نشد که این نتیجه خاصیت ضد باکتریایی عصاره حاوی نانوذرات بیوسنتز شده را تایید می نماید.

سرب قادر به تشکیل لیگاندهای کمپلکس با بسیاری از ترکیبات می باشد. این عنصر با فعالیت آنزیمها و اعمال بسیاری از ارگانهای بدن تداخل می نماید. نقش نیتریک اکساید در جهت کنترل عملکرد بسیاری از ارگانهای بدن از طریق بخش nanc سیستم عصبی اتونومیک مشخص شده است . این مطالعه اثر استات سرب روی غده تحت فکی و ارتباط آنرا با سیستم نیتریک اکساید بررسی می کند. 42 موش نر آلبینو به صورت رندم در شش گروه انتخاب شدند: تحت رژیم سرب 0/05 درصد یا بدون سرب ، با یا بدون آل-آرژنین 1 درصد یا 2/22l-name میلیگرم برای هر موش ، در آب آشامیدنی آنها، بودند. غدد تحت فکی با تیوبهای پلی اتیلنی، کانول گذاری گردیدند. و تحریک ترشح بزاق از طریق پیلوکارپین در موشهای بیهوش انجام شد و سپس غدد تحت فکی خارج شدند. غلظت پروتئین و کلسیم و فلوریت کاهش معنی داری در گروه سرب داشتند. غلظت پروتئین و فلوریت افزایش معنی داری و غلظت کلسیم کاهش معنی داری در گروه ال-آرژنین نشان داد. در غلظت آمیلازی سدیم، پتاسیم و منیزیم در بزاق ترشح شده از غده تحت فکی تغییری ایجاد نشد. اثر تجویز توام سرب با ال-آرژنین یا l-name افزایش معنی داری در آن ایجاد کرده بود. این مطالعه پیشنهاد می کند ممکن است سرب در سیستم نیتریک اکساید در غده تحت فکی موش مداخله نماید. تاثیر مهاری مسمومیت سرب ممکن است بر روی سایتهای کاتالیتیکی از طریق پیوند مستقیم با آن یا با تداخل در انتقال الکترونی طی عمل کاتالیز انجام پذیرد.