رساله موجود براساس مقاله: weakly periodic rings with conditions on commutators به نگارش درآمده است . هدف از انتخاب این موضوع، معرفی دسته ای از حلقه های جابجائی است . در این رساله r یک حلقه با مرکز c در نظر گرفته شده است که n، مجموعه عناصر پوچتوان e,r مجموعه عناصر خود توان حلقه است . یک حلقه r را دوره ای می نامیم در صورتی که برای هر xer، اعداد صحیح مثبت n و m موجود باشند، بطوریکه xnxm یک عنصر x در حلقه r را عنصر توان حلقه می نامیم در صورتیکه x به اجتماع تعداد شما را از en (1<nez+) متعلق باشد. که این اجتماع را با p نمایش می دهیم. به ازای هر n>1، en را بصورت مجموعه {x e r; xnx} معرفی کرده و حلقه دوره ای ضعیف را بگونه زیر تعریف می کنیم: حلقه r دوره ای ضعیف است اگر هر عنصر r را بتوان بصورت حاصلجمعی از یک عنصر پوچتوان و یک عنصر حلقه نوشت . بعبارت دیگر: rn+p هدف اصلی در این رساله اثبات دو قضیه اساسی است که آنها را قضیه a و b نامیده و اثبات آنها را در فصل سوم آورده ایم. در فصل دوم و ابتدای فصل سوم لم های مقدماتی و چندین قضیه آورده ایم که به تنهائی ارزشمند هستند. برای مثال ثابت می کنیم هر حلقه دوره ای، دوره ای ضعیف است . در قضیه شکرون ثابت کرده ایم: اگر r حلقه دوره ای باشد، به ازای هر x e r، عدد صحیح مثبت kk(x) و چندجمله ای f()fx() با ضرایب صحیح موجودند، بطوریکه xkxk+1f(x). قضیه ای منسوب به herstein در فصل دوم رساله ثابت شده است که نشان می دهد اگر r یک حلقه دوره ای باشد بطوریکه تمامی عناصر پوچتوان آن مرکزی است ، آنگاه r جابجائی است . در فصل دوم، قضیه دیگری نیز ثابت شده است ، که منسوب به putcha andyaqub است . در طی آن حکم قضیه شکرون را به عنوان فرض در نظر می گیریم، بعلاوه فرض می کنیم: 1) حلقه r شرکت پذیر است . 2)عناصر پوچتوان حلقه r با یکدیگر جابجا می شوند.3)برای هر y e r، x، جابجاگر جمعی xy-yx[x,y] مرکزی است . و نتیجه می گیریم که r حلقه جابجائی است .