در این پایان نامه ابتدا نشان می دهیم که هر حلقه با بعد کرل در شرط a.c.c برای ایده آلهای نیمه اولش صدق می کند سپس نشان می دهیم که این نتیجه در حالت کلی برای مدولها درست نمی باشد. در حالت خاص فرض می کنیم حلقه r اولین جبر وایل روی یک میدان با مشخصه صفر باشد در اینصورت -r مدولی آرتینی می سازیم که در شرط a.c.c برای زیرمدولهای اولش صدق نمی کند. بنابراین شرایطی برای حلقه r تعیین می کنیم تا این نتیجه برای مدولها نیز درست باشد. کار را در دو قسمت دنبال می کنیم در قسمت اول شرایطی را تعیین می کنیم که تحت آن شرایط یک -r مدول با بعد کرل در شرط a.c.c برای زیرمدولها اولش صدق کند که در نهایت به قضیه زیر می رسیم: اگر r یک pi حلقه باشد در اینصورت هر -r مدول با بعد کرل در شرط a.c.c برای زیرمدولهای اولش صدق می کند. در قسمت دوم به دنبال شرایطی هستیم که تحت آن شرایط یک -r مدول با بعد کرل در شرط a.c.c برای زیرمدولهای نیمه اولش صدق کند که در نهایت به قضیه زیر می رسیم: اگر r یک pi حلقه نوتری چپ باشد آنگاه هر -r مدول با بعد کرل در شرط a.c.c برای زیرمدولهای نیمه اولش صدق می کند.