این پایان نامه شامل چهار فصل می باشد. در فصل اول به بیان تعاریف مفاهیم و نتایج مقدماتی پرداخته ایم که در این راه تعریف چند زیرگروه - حاصلضرب داخلی، مستقیم و خارجی بین گروهها - توسیع گروهها -r مدول - نگاشت متعادل شده و همچنین قضیه جامع تانسور برای گروههای آبلی بعنوان -z مدول را آورده ایم. همنهشتی در گروهها - مستقل خطی و وابسته خطی بودن اعضای آنها - گروه تابدار و بدون تاب - سریهای نرمال، زیرنرمال، ترکیبی، بالامرکزی، پایین مرکزی، مشتق - چند رتبه از یک گروه - گروه پوچتوان و رده پوچتوان آن - گروه آزاد - صفر رشته و رشته دقیق - نمایش گروه و قضایای راجع به آنها نیز دیگر عناوین این فصل می باشند. فصل دوم را به گروههای همولوژی و کوهمولوژی و واریته گروهها و همچنین ضربگر شور اختصاص داده ایم. ابتدا دو صفر رشته از گروهها و همریختها می سازیم و از روی آنها -n امین گروهها کوهمولوژی از گروه g یعنی hn (g,a)zn (g,a)/bn (g,a) با ضریب در گروه آبلی a و -n امین گروه همولوژی از g یعنی hn (g,z)ker (n)/ker (n-l) معطوف می کنیم. زیرگروههای وربال v(g) و مارجینال v*(g) از گروه g و زیرگروه نرمال [nv* (g)] از آن و واریته گروهها v که گردایه ای از گروهها می باشد نیز مطالبی در این فصل می باشند که از آنجا به تعریف پایای بیر گروه g یعنی vm (g)r v(f)/[rv*f] برای نمایش آزاد gf/r می پردازیم. در حالات خاص اگر v واریته گروههای آبلی باشد، آنگاه [rv*f][r,f] و v(f)f و لذا m(g)r f/[r,f] که همان ضربگر شور g می باشد و اگر v واریته گروههای پوچتوان از رده پوچتوانی حداکثر c باشد، آنگاه d(m(g)) <wd(j+1) که در آن wn(m)1/m nk (m/k) فرمول ویت و تابع موبیوس هستند و اگر g پوچتوان از رده n باشد آنگاه دارای زیرگروهی مانند n است که nab آبلی آزاد می باشد و h(nab)h(gab) و h (m(n))h (m(g)) که به کمک آن ثابت کرده ایم که اگر h(g) متناهی باشد، آنگاه، h (m(n)) <wh (n+1) و در صورت نامتناهی بودن h(g)، داریم: h (m(g))h (gab)h (g) (که از لحاظ عدد اصلی با یکدیگر برابرند). در سال 1969 بکارین نشان داده است که در حالت متناهی بودن h (m(g)) <(h2(g)) . h(g) و در سال 1973 اشتامباخ ثابت کرده است اگر علاوه بر متناهی بودن dd(gab) . h(g) نیز متناهی باشد، آنگاه h (m(g)) <(d-1) h(g) - (d2). در حالتی که g آبلی آزاد باشد، این دو نامساوی به تساوی تبدیل خواهند شد. یعنی h (m(g))(d2). در فصل چهارم ابتدا شرطی را که تحت آن تساوی gp [g,g][gp,g] برقرار باشد را ارائه داده و سپس به کمک آن یک کران پایین برای h (m(g)) معرفی کرده ایم و آن را به f(h) که hh(gab) نمایش می دهیم. یعنی، h (m(g)) >f(h). در سال 1964 گلد و شافارویچ یک برای -p گروه متناهی g کران پایین d(g)2/4 را برای d (m(g)) معروف به نامساوی گلد - شافارویچ را نتیجه گرفته اند و همچنین r(g) >d(g)2/4. در یک لم ثابت می کنیم اگر g گروهی پوچتوان حداکثر p-1 و تولید شد توسط h مولد و نمای عدد اول p باشد، آنگاه، d (m(g)) >h-1. و با استفاده از آن نامساوی گلد - شافارویچ نتیجه گرفته ایم: r(g) >h (m(g)) > max {h2/4 - h, h-1}. در حالتی که g پوچتوان از رده پوچتوانی 2 باشد و hh(gab) داریم: h (m(g)) <h2-1/3 و نشان داده ایم گروهی پوچتوان از رده پوچتوان 2 وجود دارد بطوریکه اگر (m n)h2m آنگاه r(c)h (m(g))h2-1/3.