فرض کنیم a یک -c* و جبر و i یک -c* زیرجبر a باشد. توسیع حالت (state) از b به یک حالت از a را با نمایش می دهیم. در این مقاله نشان می دهیم که i یک ایده آل a است . اگر و تنها اگر همسانی q از a** به توی i** وجود داشته باشد به قسمتی که q روی i** نگاشت همانی باشد و برای هر حالت روی i داشته باشیم: oqبعلاوه نشان می دهیم که i یک ایده آل اساسی a است اگر و تنها اگر همسانی یک به یکی از a به توی جبر مضربهای i یعنی m(i) وجود داشته باشد بطوریکه این همسانی روی i مثل نگاشت همانی عمل کند. در ادامه مقاله کاربردی از مطالب گفته شده را در بحث -c* دستگاههای دینامیکی بکار خواهیم بست . در واقع فرض می کنیم که (a,g,a) یک -c* دستگاه دینامیکی باشد که در آن g یک گروه تابع (amenable) است . ثابت می کنیم که یک -c* زیرجبر -a پایای i از a یک ایده آل اساسی a و اگر و تنها اگر -c* ضرب خارجی ag × i یک ایده آل اساسی از -c* ضرب خارجی ag × a باشد.