رساله حاضر در شش فصل تنظیم گردیده است . نتایج بدست آمده در هر فصل توسط یک قضیه اساسی بیان شده و در فصل مزبور هدایت می شوند. معمولا فصول را با بیان چند حدس و احیانا با طرح چند مسئله تحقیقی به پایان برده ایم. در فصل اول پیش نیازهای لازم در سراسر این رساله را فراهم آورده ایم. بدیهی است که برخی از مطالب این فصل عمومی بوده و در اکثر منابع قابل دسترس مانند [49]، [50] و [51] پیدا می شوند. بدین منظور برای اثبات برخی از احکام و قضایا، منابع موردنظر را ارجاع داده ایم. در فصل دوم ابتدا خواص مقدماتی گروههای تجزیه شدنی را مورد بررسی قرار داده ایم که اکثر این مطالب را در برگرفته از منابع [3]، [19]، [56] و [61] می باشند در این فصل به بررسی سئوالات زیر می پردازیم و در حالتهایی خاص به آنها پاسخ می گوئیم. سئوال 1: چه زیرگروههایی از گروه gab تجزیه شدنی است ؟ سئوال 2: اگر گروه gab حاصلضرب دو زیرگروه a و b باشد و h<g آنگاه آیا (h)nb(h) ng(h)na سئوال 3: اگر گروه gab حاصلضرب دو زیرگروه آبلی a و b باشد آنگاه آیا g نیز آبلی است ؟ سئوال 4: اگر گروه gab حاصلضرب دو زیرگروه پوچ توان a و b باشد آنگاه آیا g حل پذیر است ؟ در فصل سوم به بررسی این مطلب می پردازیم که اگر گروه gab حاصلضرب دو زیرگروه a و b باشد به قسمتی که a و b در شرط بیشین (یا کمین) صدق کنند آنگاه آیا g نیز در شرط بیشین (یا کمین) صدق می کند؟ در فصل چهارم به دنبال جوابی برای این سئوال هستیم که اگر گروه gab حاصلضرب دو زیرگروه a و b با رتبه بدون متناهی (یا رتبه قسمت آبلی متناهی یا رتبه پرفرمتناهی) باشد آنگاه آیا g نیز دارای همان رتبه می باشد در ادامه به بررسی این مطلب پرداخته ایم که اگر x رده ای از گروهها باشد به قسمی که نسبت به زیرگروه، گروه خارج قسمت و توسیع بسته است و گروه gab حاصلضرب دو -x گروه a و b باشد آیا g هم یک x گروه است ؟ سپس به بررسی این خاصیت می پردازیم که اگر h و k، -x زیرگروههایی نرمال از گروه دلخواه g باشد آنگاه آیا حاصلضرب hk نیز x گروه است . در این قسمت قضیه معروف فیلینگ و هیرش پلاتگین را که به سئوال فوق در حالتی که x بترتیب رده گروههای پوچ توان باشد را عنوان می کنیم. در انتهای فصل چهارم به بحث در این مورد پرداخته ایم که با چه شرایطی زیرگروه فیتینگ و هیرش پلاتکین رادیکال از گروه تجزیه شده gab، تجزیه شدنی است . در فصل پنجم ابتدا به بررسی خواص مقدماتی زیرگروههای زیرنرمال پرداخته ایم. سپس به دنبال جوابی برای این سئوال هستیم که اگر h و k دو زیرگروه زیرنرمال از گروه دلخواه g باشند آنگاه با چه شرایطی زیرگروه تولید شده توسط h و k یعنی <h,k> در g زیرنرمال است . در ادامه این فصل به بررسی این سئوال پرداخته ایم که اگر h زیرگروهی از گروه gab باشد به قسمی که h زیرنرمال در a و b است آنگاه آیا h در g زیرنرمال است ؟ در فصل ششم نشان داده ایم که متناظر با هر تجزیه سه تایی به شکل gabakbk که در آن a، b و k آبلی و k نرمال است ، حلقه ای رادیکال موجود است و به عکس متناظر با هر حلقه رادیکال تجزیه ای سه تایی به شکل فوق موجود است . در انتهای این فصل به بررسی رابطه نمای a و b با نمای گروه تجزیه شده gab پرداخته ایم.