نظریه* - مشتق بسته جبرهای c* اخیرا توسعه زیادی یافته است . خصوصا مطالعه روی خواص حوزه تعریف چنین مشتقهایی مورد توجه زیادی قرار گرفته است . اما مشتق در جبرهای باناخ معمولی کمتر مورد توجه قرار گرفته و نظریه مشابه جبرهای c برای جبرهای باناخ معمولی کمتر است . در این پایان نامه به بحث در مورد چنین مشتقهایی می پردازیم خصوصا خواص حوزه تعریف چنین مشتقایی را مورد بحث قرار می دهیم. البته کارمان را روی مشتقهای -x مقداری که x یک مدل -a مقداری همان مشتق روی جبر باناخ می شود بنابرانی ما در واقع حالت کلی تری را مورد بحث قرار می دهیم. پایان نامه حاضر در سه فصل تدوین شده است . فصل اول شامل تعریف ها و قضایای مقدماتی است که عمدتا با آنها در آنالیز حقیقی، آنالیز تابعی و نظریه عملگرها آشنا شده ایم و بعنوان یادآوری این تعریف ها و قضیه ها را در فصل اول آورده ایم. در فصل دوم نظریه* - مشتق در جبرهای c* را مورد بحث قرار می دهیم. خصوصا حوزه تعریف آنها را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل سوم که در واقع فصل اصلی ما می باشد، به بیان مشتقهای -x مقداری در جبر باناخ a می پردازیم با استفاده از حساب تابعی که در بخش (3 - 3) بیان می کنیم، خواص حوزه تعریف این مشتقها را بررسی می کنیم بخش (3 - 4) در بخش (3 - 5) زوج های وینر را تعریف می کنیم و با استفاده از خواص آنهانشان می دهیم که بین مجموعه ایده آل های بیشین جبر باناخ جابجایی یکدار a و مجموعه ایده آل های بیشین حوزه تعریف مشتق -x مقداری، یک همسانریختی (همیومورفیسم) موجود است . در بخش (3 - 6) به مسالئه ویلنسکی پاسخ منفی می دهیم.