در دهه 1960 shepherdson, مدلی نااستاندارد و بازگشتی برای زیر نظریه ای از حساب پئانوکه استقراء را به فرمولهای باز محدود می کند ارائه نمود. مدل و غیر نرمال و فاقد عناصر اول نااستاندارد بود. همچنین در آن گویا و معادله فرما برای هر n?3 جواب غیر بدیهی دارد. در اوایل دهه 1980،wilkie و vanden dries با معرفی ساختارهای و w نشان دادند که هر -z حلقه می تواند در یک مدل استقراء باز نشانیده شود. در اواخر این دهه marker و macintyre با استفاده از ساختارهای فوق مدلهایی برای استقراء باز ساختند که در آنها عناصر اول نااستاندارد ویژگیهای غیر معمولی را به نمایش می گذاشتند. هیچ یک از مدلهای آنها بازگشتی نبوده و این سوال مطرح شد که آیا مدلی بازگشتی و نرمال یا با عناصر اول نااستاندارد برای iop موجود است . در سال 1996، berarducci و otero در مقاله خود در jsl برای دو سوال فوق یک جواب مثبت همزمان ارائه نمودند. در این پایان نامه مدل b - o مورد توصیف قرار می گیرد.