در سال 1951 آر. آرنز دو ضرب روی a" تعریف نمود که به ضرب آرنز چپ و ضرب آرنز راست موسوم اند. تحت هر یک از این دو ضریب a" تبدیل به یک جبر باناخ می شود. اگر این دو ضریب روی a" بر هم منطبق باشند جبر a را منظم آرنز می گوئیم. یک مسئله مهم و طبیعی بررسی ساختارهای جدیدی از جبرهای منظم آرنز است . بدیهی است که یک زیر جبر بسته از یک جبر منظم آرنز، منظم آرنز و جبرهای خارج قسمتی از یک جبر منظم آرنز نیز منظم آرنز است . آرنز ثابت نمود که i i(ai)1 منظم آرنز است اگر و فقط اگر هر یک از ai ها منظم آرنز باشند همچنین در [22] ثابت شده است که i iiiai لزومی ندارد منظم آرنز باشد حتی اگر هر یک از ai ها با بعد متناهی باشند. فرض کنید a و b دو جبر باناخ باشند روی فضای تانسوری تصویری a b از a و b یک ضرب وجود دارد که آنرا به یک جبر باناخ تبدیل می کند. در این رساله منظم آرنز بودن جبر a b مورد بررسی قرار خواهد گرفت . در فصل (1) تعاریف و مقدمات ، ضربهای آرنز و نتایج اولیه و فضاهای ضرب تانسوری را a مورد بررسی قرار خواهیم داد. همانطوری که در این فصل خواهید دید معمولا معیار f عمومی برای تصمیم گیری در باره منظم آرنز بودن جبر a حد دوگانه است . به عبارت دیگر منظم آرنز است اگر برای هر دو دنباله کراندار (xn) و (ym) در a و برای هر limn limm f(xnym)limm limn f(xnym) اما در استفاده از این روش برای جبر a b با عبارتهای پیچیده ای مواجه می شویم لذا در فصل (2) روش دیگر برای برای این منظور موسوم به فرمهای دو خطی دو منظم بیان می کنیم. در این فصل اولین قضیه اصلی این رساله بیان گردیده است (قضیه 4-2) این قضیه یک شرط لازم و کافی برای منظم آرنز بودن جبر a b را ارائه می کند. در این فصل منظم آرنز بودن جبرهای (1 p<)lp a و (1<p)lp(g) a و c(g) a (g گروه توپولوژی فشرده) برای هر جبر منظم آرنز a ثابت می شود. عامل اصلی اثبات در اینجا فشرده بودن ضرب در جبرهای lp و lp(g) است . از این قضیه همچنین منظم آرنز بودن جبر c(k) a وقتی k یک فضای فشرده پراکنده و a منظم آرنز دوگان a شامل هیچ زیر فضای ایزومورف با c0 نیست ، را در فصل (4) نتیجه می گیریم. در فصل (5) در ابتدا نامساوی گروتند یک (gerothendick) را بیان و ثابت می کنیم سپس منظم آرنز بودن جبرهای c(k) c(k)، l () l ()، l l، a(d) a(d)، h (d) h (d)،a(d) c(s) و h (d) c(s)، a(d) h (d) که k و s دو مجموعه فشرده و a(d) جبر دیسک و h (d) کلاسهای هاردی روی گوی واحد d از اعداد مختلط می باشند، ثابت می شود. اساس کار این رساله، مقاله ای است که توسط آقای ali ulger در سال 1988 ارائه و در مجله: transactions of the american mathematical society به چاپ رسیده است .

بطور کلی این تحقیق از دو قسمت تشکیل شده است که قسمت اول آزمایشگاهی و قسمت دوم مدل کردن جریان سیال با استفاده از نرم افزار ‏‎fluent‎‏ می باشد. در کار آزمایشگاهی به بررسی اثرات لزجت و کشش سطحی در چهار سرریز لبه تیز مثلثی، چهار سرریز سهمی شکل و یک سرریز مستطیلی بدون فشردگی جانبی پرداخته شد. در مدل کردن جریان سیال، پس از تولی شبکه با استفاده از نرم افزار پیش پردازشگر ‏‎prebfc‎‏ ، جریان بصورت آرام و سه بعدی در سرریزهای لبه تیز مثلثی، مستطیلی و سهمی شکل با استفاده از نرم افزار ‏‎fluent‎‏ شبیه سازی گردید. نتایج آزمایشگاهی نشان داد که بطور کلی در ارتفاع های (آب روی سرریز) کمتر از 5/5 سانتیمتر اثرات لزجت و کشش سطحی در کلیه سرریزهای مذکور موثر می باشند که این اثرات توسط ضریبی در معادله عمومی دبی سرریز لحاظ می شود. نتایج نشان داد برای یک ارتفاع آب ثابت، هر چه بازشدگی سرریز تنگ تر شود محدوده تاثیر لزجت و کشش سطحی در میدان جریان بیشتر می شود. بطور کلی نتایج مدل کردن جریان نشان داد که حداکثر سرعت آب بر روی سرریزهای لبه تیز در بیشترین ارتفاع آب روی سرریز قرار دارد. ضمنا هرچه بازشدگی سرریز تنگ تر شود (برای یک ارتفاع ثابت) اندازه سرعت های مذکور نیز کمتر می شود. مقدار فشار آب بر روی سرریز بسیار اندک می باشد که قابل صرفنظر کردن است. قبل از مدلسازی میدان جریان و جهت اطمینان از صحت محاسبات مدلسازی، جریان درون یک حفره مورد آنالیز قرار گرفت و نتایج منطبق بر نتایج محققان دیگر حاصل گردید.