مدارهای ترکیبی از گیت های منطقی تشکیل شده اند که خروجی در هرلحظه تنها به وسیله ترکیب فعلی ورودی و بدون لحاظ کردن ورودی های قبلی یا حالت قبلی خروجی تعیین می شود. منطق برگشت پذیر که به شکل جدی در دهه های اخیر موردتوجه قرارگرفته، ساخت مدارهایی در مقیاس نانو را بررسی می کند که علاوه بر مشکل اندازه و ابعاد مدار، مصرف توان و هدر رفت گرما در آن را نیز تحت کنترل خود دارد. یکی از کلیدی ترین مدارهای ترکیبی در هر پردازنده، جمع کننده است. با توجه به اهمیت تحمل پذیری خطا در مدارهای دیجیتال، ارائه یک جمع کننده تحمل پذیر خطای جدید باقابلیت جمع دو بیت به صورت همزمان برای این کار هدف گذاری و محقق گردید. دو بیت جمع کننده برگشت پذیر و تحمل پذیر خطای طراحی شده با فشرده سازی جمع دوبیتی در قالب یک گیت و نیز در نظر گرفتن قابلیت توسعه پذیری برای گیت طراحی شده، امکان طراحی جمع کننده های با تعداد بیت بالا و سرعت مطلوب که در طرح های موجود فعلی با سختی و پیچیدگی بالا محقق می شود را به سادگی امکان پذیر می سازد. نتایج مقایسه ای حاکی از بهبود چشمگیر در هزینه های قابل محاسبه گیت از قبیل ورودی های ثابت و خروجی های اضافی نسبت به اغلب طرح های ارائه شده است. از سوی دیگر با توجه به خواص مدارهای برگشت پذیر، طراحی و پیاده سازی آن ها الزامات خاصی را طلب می کند. نیاز به راهکاری جهت سنتز اولیه مدارهای برگشت پذیر منجر به طراحی نرم افزاری گردید که امکان تولید جداول درستی توابع را به دو شکل «برگشت پذیر» و «برگشت پذیر و تحمل پذیر خطا» داراست. با کمک جدول درستی تولیدشده در مرحله اول، سنتز مدار به روش سنتز اکتشافی مبتنی بر انتقال به دو روش یک جهته و دو جهته انجام می گیرد. همچنین کاربر قادر است تا بدون استفاده از قابلیت تولید سیستمی جدول درستی تابع برگشت پذیر و با ورود جدول درستی دلخواه خود، تنها از امکانات سنتز نرم افزار بهره گیرد.

فرض کنیم v یک واریته از گروهها باشد که با قانون w(x1,...,xn)1 تعریف شده باشد و n کوچکترین عدد طبیعی انتخاب شود. در این صورت رده v* از گروهها را چنین تعریف می کنیم: گروه g عضوی از v* است اگر و تنها اگر به ازاء هر n زیرمجموعه نامتناهی از g مانند xn,...,x1,x2 وجود داشته باشند xi در xi (i1,2,...,n) بطوریکه w(x1,...,xn). لذا، روشن است هر گروه متناهی در این شرط صدق می کند (انتفاء مقدم) سوالی را که اکنون در پیش رو داریم این است که v را چه واریته ای انتخاب کنیم تا هر -v* گروه نامتناهی یک -v گروه باشد. اگر nk,a,f بترتیب واریته گروههای متناهی، آبلی و پوچتوان از رده k باشند آنگاه تساوی های a*a f, n*knk f به ترتیب در (5) و (6) به اثبات رسیده اند. واریته گروههای -k انگل را با ek نمایش می دهیم و می دانیم که این واریته طبق قانون [x,ky]w(x,y)بنا نهاده شده است و لذا در این واریته n2 مقصود اصلی از نگارش این رساله اثبات تساوی e*kek f به ازاء k2,3 می باشد که در این راه سعی شده با فراهم آوردن مقدمات و تعاریف ابتدایی مطلب اصلی هر چه بهتر ارائه شود. این رساله در چهار فصل تنظیم شده است و کسانی که با تعاریف مقدماتی نظریه گروهها در دوره کارشناسی ریاضی محض آشنایی دارند می توانند از آن استفاده کنند. در فصل اول به تعاریف بنیادی پرداخته ایم و با ارائه قضیه (11-1) به چگونگی پیدایش گروه انگل پی خواهیم برد. همچنین در انتهایی این فصل با بیان قضیه (20-1) راه را برای اثبات قضیه اصلی و فصل دوم یعنی "پوچتوان بودن گروههای انگل متناهی" هموار کرده ایم. در فصل سوم، علاوه بر اثبات تساوی e*2e2 f لازم بود تا پوچتوان بودن گروههای -2انگل ثابت شود چرا که در سومین قضیه فصل 4 به این امر نیاز مبرم داریم در بخش آخر از فصل 4 نیز به اثبات e*3e3 f خواهیم پرداخت . در اینجا بهتر است به این موضوع اشاره کنیم که وقتی k>4 در مورد ساختار گروههای -k انگل اطلاع چندانی نداریم و این خود می تواند موضوع مناسبی برای تحقیق باشد.