در این رساله پوش بالایی و پائینی را برای مجموعه اندازه ها روی یک فضای توپولوژیکی دلخواه معرفی می شود، که جهت ارائه ملاک کیپی مورد استفاده قرار می گیرد. این موضوعات جهت نشان دادن وجود کنترل بهینه برای یک دسته از مراحل کنترل مارکف بکار برده شده اند. نهایتا" مراحل کنترل مارکف را با فضای حالت فضای عمل و توابع هزینه اندازه پذیر برل کراندار بررسی می شود. همچنین ایده اندازه های حرفه ای داده شده در برکر پرداخته شده و با ایجاد اندازه حرفه ای متناظر با یک دنباله از طرحها، تحت یک سیستم فرضی، وجود قضیه طرحهای کنترل بهینه پایا ثابت می شود.