in this thesis, first the notion of weak mutual associativity (w.m.a.) and the necessary and sufficient condition for a $(l,gamma)$-associated hypersemigroup $(h, ast)$ derived from some family of $lesssim$-preordered semigroups to be a hypergroup, are given. second, by proving the fact that the concrete categories, semihypergroups and hypergroups have not free objects we will introduce the notion of weak free semihypergroup for the classes of semihypergroups ($mathbf{shypgrp}$) and extension complete semihypergroups ($mathbf{ecs}$). also we give a necessary and sufficient condition for being weak free semihypergroups in the category $mathbf{ecs}$. the existence of proper weak free object for the class of $mathbf{ecs}$ has been proved. third, we introduce a strongly regular equivalence relation $m*$, on a hypergroup $h$ such that in a special case the quotient $frac{h}{m*}$ is a cyclic group. we also investigate the transitivity condition for $m*$ and a characterization of the new derived hypergroup $d_c(h)$. then we define the notion of hyperaction of a hypergroup on a nonempty set and also the notion of index of a subhypergroup in a hypergroup, as a generalization of the concept of action of a group on a nonempty set and the notion of index of a subgroup in a group, respectively. some properties such as the generalized orbit-stabilizer theorem, are investigated. in particular, we introduce a construction of a hypergroup from a hyperaction. at the last chapter of this thesis we will assign a generalized state hypergroup to a nondeterministic automata which associates from a hyperaction.

دراین پایان نامه ابتدا کلاس ابرگروه های از رده u از راست و خواص آن را بررسی می کنیم. اگر hیک ابرگروه متناهی از ردهu از راست به طوری که اسکالر های همانی راست ?همانی چپ نیز باشند ،آنگاه همه زیر نیم ابرگروه های h ابرگروه نیز هستند . در این پایان نامه بررسی شده است که آیا این نتیجه وقتی که ?همانی چپ نباشد برقرار است یا خیر.مجموعه های کامل توسط کوسکاس معرفی شده اند. ما اینجا مجموعه های کامل ضعیف در نیم ابرگروهها را به عنوان توسیعی از مجموعه های کامل در نیم ابرگروه ها معرفی می کنیم و سپس برخی از خواص اساسی آن را مورد بحث قرار می دهیم.

در این پایان نامه (نیم)ابرگروه آزاد ضعیف خاص را معرفی و مطالعه می کنیم و قضیه ی نیلسن -شرایر را برای رده ای از (نیم)ابرگروه آزاد ضعیف خاص تعمیم می دهیم. شرایطی که نیم ابرگروه های آزاد ضعیف خاص، الحاقی، منظم و کامل باشند را مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین چند نوع از ابرساختارهای برگرفته از مشبکه ها و ابرمشبکه ها را مطالعه می کنیم. شرایط لازم و کافی که ابرساختارها ابرگروه باشند مورد تحقیق قرار گرفته اند. همچنین مشبکه ها و ابرمشبکه ها و چند ابرعمل تعریف شده روی آن ها را مورد بررسی قرار می دهیم. شرایط لازم و کافی که ابرساختارهای برگرفته از مشبکه ها و ابرمشبکه ها ابرگروه باشند ارایه شد.

در این پایان نامه ما یک نمایشی از یک ابرعمل ‎""o‎ و شکل ماتریسی آن روی یک مجموعه متناهی ‎ h را معرفی می کنیم و شرط لازم و کافی برای اینکه ماتریس وابسته مربوط به یک (نیم)ابرگروه شود را مورد مطالعه قرار می دهیم، علاوه براین ما شرایط لازم و کافی برای اینکه ابرگروه وابسته به ماتریس، منظم، کامل، الحاقی و هندسی شود را ارائه می دهیم. در فصل ‎3‎، گراف ها یا ‎ n-‎گراف های تعمیم داده شده، ابرعمل برگرفته شده از چندهمریختی ها روی گراف ها و پلی گروه های فامی و ابرگروه های برگرفته شده از گراف های جهت دار را مطالعه می کنیم. در فصل ‎4‎، ابرعمل تعریف شده روی یک ابرگراف را مورد بررسی قرار می دهیم و شرط لازم و کافی برای اینکه این ابرعمل تشکیل یک ابرگروه دهد را مطالعه می کنیم.

در این پایان‏ نامه‏، ابتدا مفهوم ابرگروه های دووجهی را به عنوان تعمیمی از گروه های دووجهی معرفی ‏می کنیم. سپس رده ی جدیدی از (نیم) ابرگروه های حاصل از دو نیم گروه ها را می سازیم. بعضی از خواص این رده از (نیم) ابرگروه ها را بررسی کرده و در نهایت برخی از مفاهیم رمزنگاری و ابرساختارها را که در رمزنگاری از آنها استفاده خواهد شد‏، مورد مطالعه قرار می دهیم.‎

در این پایان نامه ما فضای هندسی و فضای هندسی متعدی قوی را تعریف می کنیم و همچنین روابط اساسی ~ و ? روی این فضاهای هندسی معرفی می شوند. خانواده p?(h) از زیر مجموعه های ابرگروه h به طوری که فضای هندسی (h, p?(h)) متعدی قوی شود را تعیین می کنیم. در آخر فضای هندسی ?- متعدی قوی چپ ( راست)را به عنوان تعمیمی از فضای هندسی متعدی قوی تعریف و برخی از خواص آن را مورد مطالعه و تحقیق قرار می دهیم.

در پایان نامه ی حاضر ابتدا نیم ابرگروه های کامل مورد مطالعه قرار می گیرند. سپس یک شرط لازم وکافی برای کامل بودن نیم ابرگروه ها و مفهوم مجموعه ی نرم بیان شده و روشی برای تعیین ابرگروه های کامل در حد یکریختی روی یک مجموعه ی ناتهی بیان می گردد. همچنین مفهوم نیم گروه سه تایی پیش مرتب تعریف شده و نیم ابرگروه های سه تایی گرفته شده از نیم گروه های سه تایی پیش مرتب معرفی و بعضی خواص نیم ابرگروه سه تایی گرفته شده از آنها بررسی می شود. در ادامه نیم ابرگروه های سه تایی کامل تعریف شده اند و نشان داده شده است که هر نیم ابرگروه سه تایی کامل، از یک نیم گروه سه تایی گرفته می شود. همچنین ثابت می شود اگر ‎$f$‎ یک همریختی سه تایی یکنوا بین دو نیم گروه سه تایی پیش مرتب باشد آنگاه ‎$f$‎ یک همریختی سه تایی بین نیم ابرگروه های سه تایی گرفته شده از آنها القاء می کند. افزون بر این شرطی لازم و کافی برای کامل بودن نیم ابرگروه های سه تایی بیان گردیده و روابط دوتایی روی نیم ابرگروه های سه تایی مورد مطالعه قرار گرفته اند. به ویژه برخی از خواص اساسی روابط سازگار روی آنها بررسی شده است. به علاوه پس از معرفی ابرگروه سه تایی گرفته شده از یک رابطه ی دوتایی، شرایطی هم ارز با ابرگروه بودن آن بیان می شود و در پایان دو مورد خاص از این ابرگروه های سه تایی به همراه مثال هایی در ارتباط با این موضوع ارائه گردیده است.

در این پایان نامه ابتدا ابرگروه های برگرفته از روابط دوتایی که انها را ابرگروه های روزنبرگ می نامیم مورد مطالعه قرار می دهیم.سپس شمارش ابرگروه های روزنبرگ ودر پایان ابرگروههای مشتق شده ازبرخی اعمال روی )r(h را مطالعه می کنیم.

بررسی گروه های فیبوناتچی f(2,n) برای n>2 و تعمیم طول فیبوناتچی برای رده پلی گروه ها با تولید متناهی.

در این پایان نامه اساسا ما پلی گروه ها و پلی گروه های ضعیف رامورد تحقیق قرار می دهیم. رابطه *b روی پلی گروه ها و حاصل ضرب مستقیم آنها را مطالعه و هم چنین عمل یک پلی گروه ضعیف روی یک مجموعه ناتهی را معرفی می کنیم. در پایان تعمیمی از گروه جایشگت ها را ارائه و با کمک آن تعمیم قضیه کیلی را بیان می کنیم.

در این پایان نامه نمایش یک گروه را معرفی و سپس برخی از خواص آن را مطالعه می کنیم.

این پایان نامه مشتمل بر چهار فصل است : فصل اول آن به تعریفها و قضایایی اختصاص یافته است که در فصلهای بعدی مورد نیاز می باشند. در فصل دوم به بیان و اثبات قضیه اساسی برای -p گروهها و نتایج پرداخته می شود. فصل سوم پایان نامه به -p گروههای از رده ماکسیمال اختصاص یافته، و آزمونهایی برای تشخیص آنها بیان شده است . در فصل چهارم نتایجی را در مورد پایدارساز یک زنجیر از زیرگروههای نرمال بیان شده است .