ورق سخت شده به معنی ورق تقویت شده توسط اتصال باریکه هائی از ورق و یا اجزاء میله ای شکل به ورق اصلی می باشد که به آن سخت کننده اطلاق می شود. تقسیم بندی این سخت کننده ها بسته به فاصله عرضی مرکز سطح این سخت کننده ها نسبت به میان تار ورق صورت می گیرد. هر گاه مرکز سطح این سخت کننده ها منطبق بر میان تار ورق باشد آنها را سخت کننده هم مرکز، و در غیر این صورت سخت کننده را خارج از مرکز گویند. ورقهای سخت شده توسط سخت کننده های هم مرکز حالت خاص سخت کننده های خارج از مرکز هستند. (حالت خروج از مرکزیت صفر) . در این تحقیق آنالیز استاتیکی و ارتعاش آزاد ورقهای سخت شده با سخت کننده های مورب خارج از مرکز( هر راستای دلخواه برای سخت کننده) انجام می پذیرد . برای مدل سازی ورق سخت شده، ورق اصلی را به عنوان المان ورق و سخت کنده را به عنوان المان تیر در نظر گرفته و با نوشتن روابط سینماتیکی مناسب سعی شده است که جابجایی میان تار ورق و محور تیر یک جابجایی همساز باشد. نوشتن این روابط در کلی ترین حالت (سخت کننده مورب ) نشان می دهد که درجات آزادی غشائی و خمشی در چنین ورقی(ورق سخت شده) با هم درگیری دارند. از المان نه گرهی لاگرانژی(استخراج شده با استفاده از تئوری تغییرشکل برشی با انتگرال گیری انتخابی - کاهش یافته) به عنوان المان ورق و از المان تیر سه گرهی لاگرانژی به عنوان المان تیر استفاده شده است . روابط همسازی حرکتی بین ورق و سخت کننده(تیر) به کمک روش تابع پنالتی ارضاء شده اند. براساس روش توسعه داده شده برای حل ورقهای سخت شده در حالت کلی یک برنامه کامپیوتری مناسب با استفاده از نرم افزار matlab تهیه شده است که قادر به آنالیز استاتیکی و حل ارتعاش آزاد ورقهای سخت شده می باشد. برای دسترسی نتایج تحقیق و مقایسه جوابها و اطمینان از صحت آنها از نرم افزار تجاری اجزاء محدود sap استفاده شده است . در حل بکمک نرم افزار، المانهای ورق و سخت کننده هر دو به عنوان المانهای پوسته در نظر گرفته شده اند. دقت مناسب و هماهنگی بین نتایج برنامه تجاری اجزاء محدود(با تعداد المان زیاد) و روش اعمالی در این تحقیق تاییدی به روش حل و روابط همبستگی حرکتی بین ورق و سخت کننده(با راستای دلخواه) است .