در این پایان نامه به بررسی سیستم های ریشه ی متناهی موضعی در یک فضای برداری حقیقی می پردازیم. هدف این پایان نامه توسعه ی مبانی نظری سیستم های ریشه ی متناهی موضعی است و در ضمن، جنبه ی رسته ای سیستم های ریشه که به نظر می رسد تاکنون نادیده گرفته شده است را بیان می کنیم. در این پایان نامه به مطالعه ی حد مستقیم سیستم های ریشه ی متناهی موضعی می پردازیم. هم چنین، خواص تابعگونی و نمایش مزدوجی را برای گروه وایل نظیر یک سیستم ریشه ی متناهی موضعی بیان و اثبات می کنیم. در پایان، دیاگرام های دینکین نظیر سیستم های ریشه ی متناهی موضعی را دسته بندی می کنیم

در این پایان نامه به مطالعه ی ابرجبرهای لی می پردازیم و ابرجبرهای لی کلاسیک را دسته بندی می کنیم. همچنین به بررسی ابرجبرهای لی b(m,n)-مدرج، برای m?z^(?1)و n?z^(?0)، می پردازیم . در پایان نمایشی برای یک توسیع مرکزی از ابرجبرهای لی b(0,n)-مدرج که توسط چنبره های کوانتومی مختصاتی شده اند، به دست می آوریم.

در این پایان نامه به بررسی کلاسی از سیستم های ریشه که از توسیع سیستم های ریشه ی متناهی تحویل ناپذیر، توسط گروه های آبلی عاری از تاب، به دست می آید، می پردازیم. اگر w گروه وایل سیستم ریشه ی r، توسیع یافته توسط گروه آبلی g و u گروه با نمایش مزدوجی نظیر به سیستم ریشه ی r باشد، نشان می دهیم که هسته ی همریختی طبیعی w longrightarrow u با هسته ی همریختی u^ab longrightarrow w^ab یکریخت است، که در آن u^ab و w^ab، به ترتیب آبلی شده های u و w هستند.

یک نمایش شناخته شده برای گروه های وایل متناهی و آفین، نمایش مزدوجی است. اخیراً ثابت شده که این نمایش برای زیر کلاس های خاصی از گروه های وایل آفین توسیعی نیز وجود دارد. در این پایان نامه، شرایط لازم و کافی برای آن که یک گروه وایل آفین توسیعی از نوع1 a دارای نمایش مزدوجی باشد، را به دست می آوریم. به دنبال آن نشان می دهیم که گروه های وایل آفین توسیعی وجود دارند که نمایش مزدوجی ندارند. سپس باتوجه به این که گروه های وایل آفین توسیعی زیرکلاسی از گروه های وایل توسیع یافته توسط یک گروه آبلی هستند، شرط لازم و کافی برای آن که یک گروه وایل از نوع 1 a توسیع یافته توسط یک گروه آبلی، نمایش مزدوجی داشته باشد را به دست می آوریم که این یک محک جدید و کارآمد جهت تعیین نمایش مزدوجی برای گروه های وایل آفین توسیعی نیز هست.

در این پایان نامه به بیان یک تعریف خاص از یک گراف می پردازیم، سپس به کمک مفاهیمی از توپولوژی جبری به بررسی نظریه ی پوشش گرافها خواهیم پرداخت. در ادامه نیز با بیان مفهوم بازتاب به بررسی ارتباط بین گروههای کاکستر و گرافهای کیلی با پوشش های یک تک قطبی می پردازیم و در نهایت ثابت خواهیم کرد که اگر یک پوشش از یک تک قطبی در دست داشته باشیم که تنها شامل نیم یالهاست این گراف یک گراف کیلی از یک گروه کاکستر است اگر و تنها اگر این یک پوشش منظم باشد و اعضای گروه تبدیلات پوششی نظیر آن به عنوان بازتاب روی این گراف پوششی عمل نمایند.

در این پایان نامه به بررسی دومین گروه همولوژی انواع خاصی از جبر ها می پردازیم. به طور خلاصه می توان گفت، اگر l را یک جبر لی و a را یک جبر شرکت پذیر، جابه جایی و یکدار روی میدان k از مشخصه ی مخالف 2 در نظر بگیریم، l? a یک جبرلی حلقوی است و ما به دنبال محاسبه ی دومین گروه همولوژی آن هستیم. در ادامه اگر a و b جبرهای شرکت پذیر و یک دار باشند، به بررسی دومین گروه همولوژی جبر لی ? (a?b)?^((-)) می پردازیم که در آن منظور از ? (a?b)?^((-))جبر لی تعریف شده روی جبر شرکت پذیر a?b، با عمل براکت به صورت [x, y]=xy - yx، می باشد که در آن x و y در a?b هستند. از نتایج مهم و جالب این پایان نامه می توان به کاربرد مطلب اخیر اشاره کرد. در واقع حالتی که b جبر ماتریسی m_n(k) باشد را در نظر می گیریم و h_2(?gl?_n(a)) و h_2(?sl?_n(a)) را محاسبه می کنیم.

یکی از شاخه های جدید در ریاضیات مدرن، جبر لی است. نخستین گام در زمینه ی جبر لی در قرن ‎19‎ توسط ریاضیدانی نروژی به نام ماریوس سفوس لی برداشته شد. بررسی معادلات دیفرانسیل جزیی، او را به سمت شاخه ای از ریاضیات سوق داد، که امروزه جبر لی نامیده می شود. در اواخر قرن ‎19‎ فردریک انگل همکاری خود را با لی آغاز کرد. ریاضیدانانی نظیر کلینگ، کارتان، وایل، کز، مودی و ...‎ کارهای ارزشمندی در این زمینه انجام داده اند. بیش از یک دهه پیش، جبرهای لی ساده ی به طور موضعی متناهی، از بعد نامتناهی، مورد مطالعه قرار گرفته و طبقه بندی شدند‎. یکی از نتایج این طبقه بندی مطالعه ی جبرهای لی ‎gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ ‎ بود. از جمله نتایج ارزشمند، در زمینه ی مطالعه ی این چهار جبر لی نتایجی در مورد زیرجبرهای کارتان و بورل این جبرهای لی می‎باشد‎. هدف اصلی این پایان نامه توصیف زیرجبرهای لی نیم ساده ی موضعی، از جبرهای لی ‎gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎، با تقریب یکریختی است. نتایج، حاصل گسترش نتایج بیان شده در مقالات ‎[13]‎ و ‎[14]‎ به جبرهای لی به طور موضعی متناهی از بعد نامتناهی است. این پایان نامه که بر اساس مرجع ‎[12] تدوین شده است، مشتمل بر چهار فصل می باشد. فصل ‎1‎ را در شش بخش تنظیم کرده ایم. در این فصل، برخی تعاریف و نکات مقدماتی را که در ضمن این پایان نامه به آن ها نیاز خواهیم داشت بیان می کنیم. فصل ‎2‎ شامل چهار بخش است. در بخش اول برخی مطالب مقدماتی تر آورده شده است. دو بخش بعد به معرفی جبرهای لی ‎ gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ می پردازد. در بخش ‎2‎، شکل ماتریسی این جبرهای لی را بیان می کنیم؛ در حالی که در بخش ‎3‎، این جبرهای لی را با استفاده از فضای دوگان معرفی خواهیم کرد. در بخش آخر این فصل، به تعریف یک جبر لی به طور موضعی متناهی پرداخته و خواهیم دید که جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ ‎ به طور موضعی متناهی هستند. فصل سوم، که مهمترین فصل این پایان نا مه است، نیز شامل چهار بخش می باشد. در بخش اول مفهوم حد مستقیم یک دستگاه مستقیم از جبرهای لی بیان می شود. مهمترین گزاره این بخش نشان می دهد، جمع مستقیم حد مستقیم یک خانواده از دستگاه های مستقیم، تحت یکریختی، با حد مستقیم جمع مستقیم آن خانواده برابر است. در بخش دوم این فصل، ابتدا با تعریف یک اشباع استاندارد آشنا می شویم. در ادامه، برای هر کدام از جبرهای لی ‎ gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ یک اشباع استاندارد معرفی خواهیم کرد. در بخش سوم با مفهوم شاخص برای یک جبر لی-همریختی از جبرهای لی ساده ی با بعد متناهی آشنا می شویم. بخش آخر شامل اصلی ترین نتیجه ی این پایان نامه است. در این بخش ابتدا با مفهوم یک زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی آشنا می شویم. سپس با بیان قضیه ای به توصیف زیرجبرهای لی نیم ساده ی موضعی جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ می پردازیم. این توصیف بر اساس یافتن یک شرط معادل برای تعریف یک زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی از جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ ‎ است. بنابر این قضیه یک شرط معادل برای زیرجبرهای لی به طور موضعی نیم ساده ی ‎ s از جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ بیان می شود. در فصل ‎4‎، با در نظر گرفتن هر یک از جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ به بررسی ساختار مدول طبیعی v‎ و هم طبیعی ‎ v*این جبرها، به عنوان مدول هایی از زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی s‎ از g‎ خواهیم پرداخت. می دانیم، قضیه ی وایل بیان می کند که هر مدول با بعد متناهی از یک جبر لی نیم ساده ی از بعد متناهی به صورت جمع مستقیمی از زیرمدول های تحویل ناپذیر، نوشته می شود. با توجه به این که برای یک زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی ‎s از gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎، ‎ v و ‎v*‎، s‎-مدول های از بعد نامتناهی هستند، لذا تجزیه ی آن ها به صورت جمع مستقیم زیرمدول های تحویل ناپذیر، نیاز به بررسی دارد که در این فصل به آن پرداخته می شود.

چکیده: در این پایان نامه، تعمیمی طبیعی از مفهوم سیستم ریشه به طور موضعی متناهی و سیستم ریشه آفین توسیعی تعریف شده توسط سائیتو مورد بررسی قرار گرفته است. به علاوه طبقه بندی این سیستم های تعمیم یافته مورد مطالعه قرار گرفته است.

در این پایان نامه جبرهای لی به طور موضعی آفین توسیعی و سیستم های ریشه نظیر به آن ها را مورد مطالعه قرار می دهیم. جبرهای لی به طور موضعی آفین، زیرکلاسی از این جبرها را تشکیل می دهند. جبرهای لی به طور موضعی آفین، تعمیمی از جبرهای لی کز-مودی هستند، که زیرجبر کارتان نظیر، از بعد دلخواه است

در این پایان نامه، سیستمهای ریشه ی آفین توسیعی مورد مطالعه قرار می گیرند . هم چنین جبرهای لی آفین توسیعی از نوع تورال معرفی میشوند و ثابت می شود که سیستم ریشه ی یک جبر لی آفین توسیعی از نوع تورال، یک سیستم ریشه ی آفین توسیعی است. به علاوه، سیستمهای ریشه ی آفین توسیعی از نوع bc با پوچی کوچکتر یا مساوی 3 طبقه بندی میشوند.

در این پایان نامه توسیع های مرکزی جهانی از حدهای مستقیم از ابرجبرهای لی را مورد مطالعه قرار می دهیم و با معرفی تابعگون uce، به هر ابرجبر لی کامل l، یک توسیع مرکزی جهانیuce(l) را نظیر می کنیم. هم چنین نشان می دهیم که توسیع مرکزی جهانی از یک حد مستقیم از ابرجبرهای لی کامل li، یکریخت با حد مستقیم از توسیع های مرکزی جهانی ازli می باشد. با استفاده از این مطلب، توسیع های مرکزی جهانی برخی از حدهای مستقیم ابرجبرهای لی شناخته شده را به دست می آوریم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

حلقه r را کمین تزریقی راست گویند. اگر هر یکریختی بین ایده آلهای راست ساده به وسیله ضرب از چپ توسط عضوی از r بیان گردد. چنین حلقه هایی موریتاپایا هستند. ثابت می شود حلقه جابجایی r کمین تزریقی راست است اگر soc(r) عاری از مربع باشد همچنین تصویر همریخت حلقه جابجایی r کمین تزریقی است اگر و فقط اگر r توزیعی باشد. علاوه بر این اگر r ، نیم کامل وکمین تزریقی راست باشد طوری که برای هر عضو خودتوان اولیه e داشته باشیم soc(er) 0 آنگاه r مجهز به یک جایگشت ناکایاما روی مجموعه عضوهای خودتوان پایه برای r است و همچنین soc(rr) soc(rr) اگر و فقط اگر هر ایده آل چپ ساده، یک ایده آل پوچ ساز باشد.