بسیاری از مسایل فیزیکی، اقتصادی و مالی را می توان در قالب سیستم های دینامیکی زمان-گسسته مدل سازی کرد و سپس به کمک ابزارهای آنالیز انشعاب و روش های عددی به بررسی رفتار دینامیکی آن ها پرداخت. در این پایان نامه، که می توان آن را به دو بخش اساسی تقسیم نمود، در بخش اول ابتدا مقدمه ای بر سیستم های دینامیکی زمان-گسسته و نظریه ی انشعاب را ارایه می دهیم، سپس مختصری درباره ی روش های عددی موجود برای آنالیز انشعاب های موضعی نگاشت ها بحث می کنیم و پس از آن با استفاده از جعبه ابزار matcontm در matlab انشعاب های موجود در چندین مثال را می یابیم و به امتداد آن ها می پردازیم. در بخش دوم ساختاری شبیه به بخش اول را دنبال می کنیم، با این تفاوت که این بار به انشعاب های سراسری مدارهای متصل کننده می پردازیم. این بخش را با محاسبه ی منیفلدهای پایای پایدار و ناپایدار نقاط ثابت و یافتن نقاط اشتراک آن ها به منظور دستیابی به مدارهای هموکلینیک و هتروکلینیک آغاز می کنیم. سپس با استفاده از تکنیک امتداد زیر فضاهای پایدار به ایجاد و پیاده سازی الگوریتمی برای امتداد مدارهای متصل کننده و محاسبه ی منحنی انشعاب فلد متناظر با مماس شدن منیفلدهای پایدار و ناپایدار می پردازیم. در پایان با استفاده از matcontm به امتداد مدارهای هتروکلینیک و هموکلینیک در چندین نگاشت مشهور می پردازیم.

و غیر ?? پایا، ارگودی ?? فشرده، هر اندازه احتمال ?? از منیفلد ریمان c1+ کنیم برای هر دیفئومورفیسم

برخورد انشعاب هاپف با انشعاب هم بعد‎-?‎ کاسپ، انشعاب هم بعد‎-?‎ با دینامیک کامل تری ایجاد می کند. مطالعه ی جامعی از انشعاب کاسپ-هاپف روی منیفلد مرکزی سه بعدی، بر اساس فرم نرمال قطع شده ارائه می شود. تقارن انتقال-حالت ‎ s1 این فرم نرمال را به سیستم مسطح کاهش می دهد. ‏ تغییر متغیر های بیشتر استفاده می شود تا ضرایب غیر خطی ساده شوند و حالت های تحت برسی کاهش یابند. مجموعه های پایای فرم نرمال دو بعدی شامل نقاط تعادل و مدارهای تناوبی مشخص شده اند. انواع انشعاب ها، نماهای فاز نمایش داده می شود. این انشعاب علاوه بر چهار حالت موجود در انشعاب فولد-هاپف، شامل هم زیستی نقاط تعادل، مدارهای تناوبی، چنبره های پایا، انفجار نوسان ها و انشعاب فولد-هتروکلینیک نیز است. انشعاب فولد-هتروکلینیک در بعد سه موجب انفجار نوسان ها می شود که شبیه سازی عددی پیش بینی وقوع انفجار نوسان های حاصل از تحلیل این انشعاب را تایید می کند. اگر جملات مرتبه ی بالاتر را به سیستم بیافزاییم؛ تقارن سیستم می شکند. بنابراین دینامیک هایی که از لحاظ ساختاری پایدار نیستند؛ رفتار متفاوتی دارند. این نقض تقارن ممکن است سیستم را به دینامیک آشوبی هدایت می کند.

از روش هموتوپی برای حل مسائل زوج ویژه ماتریسهای نامتقارن می توان استفاده نمود. در این روش با استفاده از الگوریتم "تقسیم و پیروزی " تعداد زیادی از مسیرهای ویژه شبیه خط راست می شوند که می توان تعداد زیادی از زوجهای ویژه یک ماتریس نامتقارن را با پیمایش این مسیرهای ویژه به راحتی محاسبه نمود. در فصل اول مفاهیم اولیه و پیشنیازها را بیان می کنیم . در فصل دوم روش هموتوپی را توضیح داده و الگوریتم هموتوپی برای حل مسائل زوج ویژه ماتریس های متقارن بیان می شود و در فصل سوم روش هموتوپی را برای حل مسائل زوج ویژه ماتریس های نامتقارن توضیح می دهیم.