زیرمدول های متمم و تعمیم مدول های پروژکتیو به کوشش لیلا صادقی فرض کنیم ‏r‏ یک حلقه باشد. برای ‏r‏- مدول چپ ‏m، یک زیر مدول متمم از ‏m، زیر مدول ‏k‏ از ‏m‏ است در صورتی که ‏زیر مدول ‏k^ ? ‎‏ از ‏m‏ وجود داشته باشد، به طوری که ‏m=k+k^ ? ‎‏ و ‏k‏ نسبت به این ویژگی مینیمال باشد. در این پایان نامه نتایج ‏زیادی در مورد زیر مدول های متمم مدول های پروژکتیو ارایه کرده و رابطه ی آن ها را با یک تعمیم مدول های پروژکتیو (مدول های ‏رادیکال - پروژکتیو) مشخص می کنیم. این نتایج به ما اجازه می دهد تا برخی ویژگی های حلقه هایی که هر زیر مدول متمم از مدول های ‏پروژکتیو متناهیا تولید شده یک جمعوند مستقیم است، را به حلقه هایی که هر زیر مدول متمم از مدول های پروژکتیو (نه لزوما متناهیا ‏تولید شده) یک جمعوند مستقیم است، توسیع دهیم.‏

فرض کنید rیک حلقه ی جابجایی و یکدار باشد. تعمیم های متعددی از ایده آل های اول مورد بررسی قرار گرفته است. برای مثال یک ایده آل محض i از r به طور ضعیف اول است (به همین ترتیب، به طور تقریبی اول) اگر برای a,b متعلق به r که ab متعلق به i و مخالف صفراست، آنگاه a متعلق به i یا b متعلق به i. (به همین ترتیب اگر برای a,b متعلق به r که ab متعلق به i ولی متعلق به i بتوان دو نباشد، آنگاه a متعلق به i یا b متعلق به i). فرض کنید فی یک تابع باشد که از مجموعه ی تمام ایده آل های r به مجموعه ی تمام ایده آل های r به استثنای تهی تعریف شود. ایده آل محض i از r یک ایده آل فی - اول نامیده می شود اگر برای a,b متعلق به r که ab متعلق به r ولی متعلق به فی r نباشد، آنگاه a متعلق به r یا b متعلق به r باشد. نشان می دهیم که ایده آل های فی - اول دارای ویژگی های بسیار مشابهی با ایده آل های اول هستند.

در این پایان نامه، ما اصلی را تحت عنوان اصل ایده آل اول ارائه می دهیم، تا نشان دهیم ایده آل های معینی در حلقه جابجایی اول هستند. با ارائه این اصل ما به یک بیان یکدست و سرراست از بعضی نتایج استاندارد درباره ایده آل های اول در جبر جابجایی می رسیم که این نتایج به کرول، کوهن، کاپلانسکی، هرشتاین، آیساک، مک آدام، د.د اندرسون و دیگران منتسب می شوند. به طور واضح تر، طبیعت ساده اصل ایده آل اول ما را قادر می سازد تا نتایج تاکنون ناشناخته زیادی را از سری قضایای" ماکسیمال بودن، اول بودن را نتیجه می-دهد" بدست آوریم. مفاهیم کلیدی لازم برای پرداختن به چنین مسائلی در مورد ایده آل های اول، عبارتند از خانواده های اوکا و خانواده های آکو از ایده آل ها در حلقه جابجایی. همچنین قسمت زیادی از این کار دارای تعبیری بر حسب رسته مدول های دوری می باشد.

هدف این پایان‏نامه مطالعه‏ی ویژگی‏های همولوژیکی مدول‏های n- قویاً گرنشتین پروژکتیو، انژکتیو و یکدست و تحقیق روابط میان آن‏ها است. در این پایان‏نامه که برگرفته از مقاله‏ی نوشته شده توسط ژائو (guoqiang zhao) و هوانگ (zhaoyong huang) می‏باشد، مشخصه‏هایی برای مدول‏های n- قویاً گرنشتین پروژکتیو (انژکتیو) ارائه کرده، روشی برای بدست آوردن یک مدول 1- قویاً گرنشتین پروژکتیو (انژکتیو) از یک مدول n- قویاً گرنشتین پروژکتیو (انژکتیو) را بیان می‏کنیم. همچنین ویژگی‏هایی از اشتراک خانواده‏ی این مدول‏ها و در حالت‏های خاص، ویژگی‏هایی از اجتماع خانواده‏ی این مدول‏ها را بررسی می‏کنیم. در نهایت مدول‏های n- قویاً گرنشتین یکدست را تعریف کرده، خواص همولوژیکی این مدول‏ها را نیز تحقیق خواهیم کرد.

در سرتاسر این پایان نامه، همواره با r-مدول های راست یکانی کار خواهیم کرد. همچنین حلقه r یکدار در نظر گرفته شده است. زیرمدول‏های خودتوان و مدول‏های کاملاً خودتوان توسط آقایان توتونکو (d. k.tütüncü)، ارتاس (n. o. ertas)، تریبک (r. tribak) و اسمیت (p. f. smith) تعریف می شوند. فرض کنید m یک r-مدول باشد. زیرمدول n را خودتوان در m گویند هر گاه که: n=hom(m,n)n توجه کنید که اگر a یک ایده آل راست حلقه r باشد، آنگاه a یک زیرمدول خودتوان مدول r_r می باشد اگر و تنها اگر a^2=a یعنی a یک ایده آل راست خودتوان r می باشد. در فصل اول مدول کاملاً خودتوان را به صورت زیر تعریف می کنیم. r-مدول m را کاملاً خودتوان گویند هرگاه هر زیرمدول آن خودتوان باشد. همچنین حلقه r را حلقه کاملاً خودتوان راست گویند هرگاه که r_rکاملاً خودتوان باشد یعنی برای هرایده آل راست r مانند a داشته باشیم a^2=a . در فصل دوم خواهیم دید که برای هرr-مدول مانند m، هر جمعوند مستقیم آن یک زیرمدول خودتوان می باشد. با توجه به مطلب فوق، نتیجه می گیریم که هر مدول نیم ساده کاملاً خودتوان است. همچنین نشان می دهیم که برای هر حلقه ای مانند r که منظم فون- نیومان نباشد، r-مدول آزاد r?r شامل یک زیرمدول خودتوان می باشد که جمعوند مستقیم نیست. می دانیم که هر ایده آل خودتوان متناهی مولد در یک حلقه جابه جایی مانند r، با یک عنصر خودتوان تولید می شود بنابراین یک جمعوند مستقیم r_r می باشد. نشان خواهیم داد که این وضعیت برای مدول ها روی حلقه های جابه جایی کاملاً یکسان نیست. به عنوان مثال اگر m یک مدول روی حلقه جابه جایی r باشد، آنگاه هر زیرمدول خودتوان دوریm یک جمعوند مستقیم می باشد (فصل 3 بخش1) اما لزومی ندارد که این مورد برای زیرمدول های خودتوان متناهی مولد برقرار باشد. در فصل سوم ثابت می کنیم که روی یک حلقه جابه جایی نوتری r ، یک r-مدول کاملاًًخودتوان است اگر و تنها اگر نیم ساده باشد. همچنین ثابت می کنیم که روی یک حلقه جابه جایی r ، هر r-مدول کاملاً خودتوان است اگر و تنها اگر r نیم ساده باشد. به عبارتی دیگر نشان خواهیم داد که اگر r یک حلقه ساده باشد، آنگاه هر r-مدول آزاد کاملاًًخودتوان است. به علاوه نشان خواهیم داد که هر جمع مستقیم مدول های کاملاً خودتوان بی‏تاب روی یک حلقه جابه جایی، کاملاً خودتوان است. در پایان زیرمدول های خودتوان مدول های آزاد مشخص می شوند.

مقدمه بک اولین کسی بود که در سال 1988 مفهوم گراف مقسوم‎علیه صفر یک حلقه‏ی r را تحت عنوان رنگ‏آمیزی رئوس بیان کرد. او اعضای حلقه‎ی r را به عنوان مجموعه رئوس یک گراف در نظر گرفت. همچنین دو عضو متمایز x,y?r با هم مجاورند اگر و تنها اگر xy=0. بک عدد رنگی (کمترین تعداد رنگی که می‎توان با آن اعضای حلقه‎ی r را رنگ‎آمیزی کرد، در حالتی که دو رأس مجاور دارای رنگ‎های متفاوتی باشند.) و خوشه (کوچکترین زیرگراف کامل از یک گراف) را برای چنین گراف‎هایی تعریف کرد. همچنین حلقه‎های با عدد رنگی متناهی را حلقه‏های رنگی (coloring) نامید. او توانست ویژگی‎های جالبی را در این زمینه بیان کند از جمله: یک حلقه چه زمانی رنگی خواهد بود، شرط زنجیر صعودی بر روی پوچساز‏های حلقه‎های رنگی، بسته بودن خانواده‎ی حلقه‎های رنگی نسبت به عمل‏های به خصوصی و . . . مطالعه‎ی گراف مقسوم‎علیه صفر یک حلقه‎ی r توسط اندرسون و نصیر ادامه یافت. آنها تعریفی مشابه بک ارائه کردند و گراف مقسوم‎علیه صفر را با ?_0 (r) نشان دادند. در ?_0 (r)، رأس صفر با تمامی رئوس مجاور است اما مابقی رئوس که مقسوم‎علیه صفر نباشند، تنها با صفر مجاورند. اندرسون و لیوینگستون تعریفی متفاوت از گراف مقسوم‏علیه صفر که با ?(r) نشان داده می‎شود، ارائه کردند. لازم به ذکر است این تعریف ساختار مقسوم‏علیه‎های صفر حلقه‎ی r را بهتر از تعریف قبل نشان می‏داد. آن‎ها ویژگی‏های بسیار جالبی از ?(r) را بیان کردند. از جمله: همبند بودن گراف، کران بالای 3 برای قطر آن، چه زمانی ?(r) یک گراف کامل یا ستاره‏ای است و . . . افراد دیگری نیز گراف مقسوم‎علیه صفر را مورد بررسی قرار دادند. در سال 2002 اکبری ، میمنی و یاسمی به این سوال جالب اندرسون، لیوینگستون، لیو و فرازیر پاسخ دادند که برای کدام حلقه‎های جابجایی متناهی r، ?(r) یک گراف مسطح است. آنها نشان دادند که اگر r حلقه‎ی موضعی با حداقل 33 عضو باشد و ?(r) گراف غیر تهی بوده، آن‎گاه ?(r) یک گراف مسطح نیست. همچنین به توصیف حلقه‏هایی که گراف مقسوم‎علیه صفرشان، کامل r بخشی است پرداختند. آن‎ها حلقه‎هایی که گراف مقسوم‎علیه صفرشان کامل p بخشی است (p عدد اول فرد) را نیز طبقه‎بندی کردند. در سال 2003 ردموند گراف مقسوم‎علیه صفر یک حلقه‎ی r را بر پایه‎ی یک ایده‎آل از آن حلقه تعریف کرد. او برای حلقه‏ی جابجایی r و ایده‎آل i از آن، گراف ?_i (r) را این چنین تعریف کرد: گراف غیر‏جهت دار ?_i (r) با مجموعه رئوس {x?r?i?xy?i بطوریکه y?r?i باشد داشته وجود } و دو رأس متمایز x,y با هم مجاورند اگر و تنها اگر xy?i. واضح است اگر i=(0)، آن‏گاه ?_i (r)=?(r). او توانست با ایده‏ای جالب گراف ?_i (r) را برای حلقه‏های ساده به‏راحتی رسم کند. همچنین در مورد همبندی، عدد خوشه‏ای، کمر گراف و مسطح بودن گراف ?_i (r) مطالبی را بیان کند. مجددا در سال 2003 اکبری و محمدیان به مطالعه و بررسی گراف مقسوم‏علیه صفر پرداختند. آن‏ها نشان دادند که برای هر حلقه‏ی جابجایی و متناهی r، عدد رنگی مربوط به یال‏ها برابر با درجه‏ی ماکسیمال r در گراف ?(r) است بجز حالتی که ?(r)، گراف کامل از مرتبه‏ی فرد باشد. همچنین با تعمیم قضیه‎ی (?(r)??(s) اگر و تنها اگر r?s، بطوریکه rو s حلقه‎های متناهی کاهش یافته بوده و میدان نیز نباشند.) موفق به بیان قضیه‏ی زیر شدند: اگر r حلقه‏ی متناهی کاهش یافته بوده بطوریکه با z_6 یا? z?_2×z_2 یکریخت نباشد و s حلقه‏ای دلخواه بطوریکه ?(r)??(s)، آن‎گاه r?s.

در فصل دوم این پایان نامه انواع جدیدی ازسیستمهای انژکتیو یعنی سیستمهای موضعا دوری انژکتیو (تجزیه ناپذیر انژکتیو، انژکتیو ضعیف موضعا دوری، انژکتیو ضعیف تجزیه ناپذیر) معرفی شده و رابطه بین انواع سیستمهای انژکتیو بررسی شده است. در میان نتایج دیگر یک مشخصه سازی جدید از تک وارها یی ارائه می کنیم که روی آن ها خارج قسمت سیستمهای انژکتیو، انژکتیو ضعیف اصلی (انژکتیو ضعیف موضعا دوری، انژکتیو ضعیف تجزیه ناپذیر) هستند. در فصل سوم سیستم های شبه تصویری و پوشش سیستم ها مورد مطالعه قرار گرفته اند. نشان داده می شود که در برخی از نتایج مهم مربوط به ویژگی تصویری، می توان ویژگی تصویری را با شبه تصویری جا به جا کرد. به عنوان مثال نشان می دهیم روی یک تکواره شامل یک صفر چپ، هر سیستم به طور قوی هموار، تصویری است اگر و تنها اگر، هر سیستم به طور قوی هموار، شبه تصویری باشد. درفصل چهارم، دوسیستم ها ، دوسیستم های به طور قوی وسیستمهای تمام خود توان ، معرفی شده و رابطه بین این سیستم ها با برخی کلاس های دیگر از سیستم ها از جمله سیستم های انژکتیو و سیستم های تصویری مورد بررسی قرار گرفته اند.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه ، تمام حلقه ها جابجایی و یکدار و تمام مدولها یکانی می باشند. در این تحقیق، حاصلضرب زیرمدولهای یک مدول ضربی را معرفی کرده و به وسیله این حاصلضرب سعی می شود برخی قضایای معروف در باره حلقه های جابجایی را به موارد مشابه برای مدولهای ضربی گسترش داد.برای مثال ، مفهوم زیرمجموعه های ضربی یک مدول ضربی ، که تعمیمی از زیرمجموعه های بسته ضربی یک حلقه جابجایی می باشد، مورد بحث قرار می گیرد. سپس چندین ملاک برای تعیین مدولهای ضربی را ارائه کرده و با استفاده از روش ایده آل سازی، نشان داد که چگونه مطالعه مدولهای ضربی به بررسی ایده آلهای ضربی محدود می شود.