در این رساله فرایند قدم زدن تصادفی شاخه ای یک بعدی با زمان گسسته روی r در نظر گرفته می شود که در آن z(n) (r) مکانهای هر یک از افراد در نسل n -ام می باشد. فرض کنیم m تبدیل لاپلاس اندازه شدت وابسته به فرایند باشد، به طوری که m در بازه ای مشتق پذیر و متناهی است . ما با تعریف مارتینگل وابسته به این فرایند، نشان می دهیم این مارتینگل به طور a.s. همگراست و تبدیل لاپلاس حد آن تابعی است که یک ریشه معالده تابعی می باشد. همچنین نشان می دهیم تحت برقراری فرضهای اولیه و شرایط زبر بحرانی و بحرانی هر ریشه غیربدیهی این معادله تابعی، یک وابستگی با توابع با تغییر آهسته دارد. علاوه بر این ثابت می کنیم نیز یک مارتینگل بوده و همگراست و تحت برقراری فرضهای اولیه و با شرط بحرانی، حد این مارتینگل تبدیل لاپلاسی دارد که یک ریشه منحصر بفرد معادله تابعی مذکور بوده و وابستگی آن با تابع با تغییر آهسته نیز مورد بررسی قرار می گیرد.