مطالب مطرح شده در این پایان نامه در مورد گروههای جایگشتی است و ما نشان می دهیم اگر g یک گروه جایگشتی روی مجموعه با اندازه n باشد و g/g نمایش مرتبه بزرگترین گروه خارج قسمتی آبلی از g باشد آنگاه g/g 1 یا عدد اولی مانند p وجود دارد که p g/g و g/g < pn/p و تساوی زمانی رخ می دهد که g، p -گروه باشد که در این حالت g به صورت حاصلضرب سازه های انتقالی اش است و هر یک از این سازه ها دارای مرتبه p هستند به جز در حالتی که p 2 باشد که در این حالت گروههایی از مرتبه 4 و گروه تقارن از مرتبه 8 و درجه 4 (d8) و گروه extraspecial از مرتبه 32 و درجه 8 هستند. و در قسمت دوم این پایان نامه نشان می دهیم که اگر g را در sn نشانده باشد و h<g آنگاه (h)< (g) همچنین اگر n نرمال در g باشد ممکن است (g/n)> (g) که در این حالت g را گروه استثنایی (cxccptional) می نامیم و در ادامه قضایایی را در مورد گروههای استثنایی ثابت می کنیم.