در این پایان نامه به معرفی ‎‎ ‎یک‎‎‎‎‎‎‎ نوع از احاطه کننده ها به نام متحدهای دفاعی و تهاجمی پرداخته ایم. ابتدا مفاهیم و تعاریف مقدماتی مورد نیاز را بیان نموده ایم.در قسمت بعد به مطالعه و بررسی خصوصیات ریاضی متحدهای تهاجمی (قوی ) سراسری در گراف پرداخته ایم. بویژه چند کران برای عدد متحدهای تهاجمی و عدد متحدهای تهاجمی (قوی ) سراسری ارائه می دهیم.در ادامه به مطالعه ی متحدهای دفاعی سراسری ‏، عدد متحدهای دفاعی‏، عدد متحدهای دفاعی (قوی ) سراسری در گراف‏، بویژه در گراف خط پرداخته ایم. و در آخر به بررسی متحدهایی که هم متحد دفاعی و هم متحد تهاجمی هستند‏، پرداخته ایم. و آن ها را متحدهای توانمند نامیده ایم. و چند کران مختلف برای این نوع متحدها در گراف را به دست آوردیم .‎