در فصل نخست به معرفی توابع تجدید ارایش یافته و همچنین فضاهای سوپولف پرداخته می شود در فصل دوم به بررسی یک معادله دیفرانسیل پاره ای نیمه خطی در یک گوی دو بعدی می پردازیم که دارای جواب یکتاست جواب یک جریان پایدار محدود که شامل یک گردابه گذرنده بر روی یک صخره دریایی می باشد رانمایش می دهد روش اثبات استسفاده از یک صورت بندی تغییراتی و همچنین محدب مزدوج تابعکی خاص را پیشنهاد می کند. فصل سوم به بررسی یک مساله تغییراتی مفید در r2 می پردازد در این حالت انرژی جنبشی نسبت به مجوعه متشکل از اشتراک مجموعه ای از تجدید آرایش یافته های تابعی داده شده و زیر فضایی مستوی دارای همبعد یک ماکزیمم می شود ابتدا مساله را بر یک دامنه کراندارحل می کنیم گذربه دامنه بی کران توسط استخراج تخمینهایی به انجام رسیده است تانشان دهد که اعتبار جواب در یک دامنه کراندار به اندازه کافی بزرگ در حقیقت در r2 معتبر است در فصل چهارم وجود ماکزیمم کننده ها را برای همان مساله تغییراتی فصل سه البته نامقید این بار در +r3 ثابت می کنیم سرانجام در آخرین فصل یک خانواده از مسایل ماکزیمم سازی که جوابهایشان گردابه های سیالات دوبعدی رانمایش می هند در نظر گرفته و ثابت می کنیم که اگر یک دنباله مجاز از گردابه های سیالات دو بعدی را نمایش می دهند در نظر گرفته و ثابت می کنیم که اگر یک دنباله مجاز از گردابه ها را در نظر بگیریم آنگاه مراکز ثقل نظیرشان به مینیمم کننده سراسری تابع روث مرتبط با یک تابعک انرژی مناسب همگرا است