هنگامی که در حل عددی مسائل مقدار مرزی جدائی پذیر از تکنیک های گسسته سازی استفاده می کنیم, دستگاه های خطی حاصل را با روش های متنوعی می توان حل نمود. الگوریتم تجزیه ماتریس یکی از روش های موثر در حل چنین دستگاه هایی است. در این پایان نامه، در ابتدا با معرفی الگوریتم تجزیه ماتریس، به بیان کاربردهایی از این الگوریتم در روش هایی مانند روش تفاضل متناهی، روش گالرکین عنصر متناهی، روش هم مکانی اسپلاین، روش طیفی و روش جواب های بنیادی می پردازیم. همچنین با بررسی تاریخچه ای از روش های هم مکانی اسپلاین مربعی، این روش را در حالت بهینه ی فشرده جهت حل معادله هلم هلتز با شرایط مرزی دیریکله، نویمن، مخلوط و تناوبی مورد استفاده قرار می دهیم.

اکثر پدیده های حقیقی در فیزیک، شیمی، زیست شناسی و اقتصاد... با معادلات دیفرانسیل معمولی توصیف می شوند. یافتن جواب تحلیلی برای این گونه مسایل از پیچیدگی خاصی برخوردار است. این در حالی است که بسیاری از این مسایل دارای جواب تحلیلی معلوم نیستند. بنابراین بایستی این گونه مسایل را با روش عددی حل کرد. در این پایان نامه به حل معادلات دیفرانسیل معمولی با مقادیر اولیه با استفاده از روش هم مکانی، مبتنی بر درون یاب لژاندر-گاوس-رادو می پردازیم. آنالیز همگرایی برای این معادلات انجام شده و دقت طیفی جواب را نشان خواهیم داد. سپس با ترکیب روش هم مکانی با تجزیه دامنه مورد بررسی یک مدل تعمیم یافته برای حل انواع مسایل مقدار اولیه ارائه می نماییم. مثال های عددی در انتهای هر بخش کارایی و دقت بالای این روش را نشان می دهد.