این پایان نامه شامل سه فصل است. فصل اول شامل سه بخش است. بخش یکم به مقدمات اختصاص دارد که در آن مفاهیمی اساسی از آنالیز مقدماتی بیان می شوند که در طول پایان نامه به کار رفته اند. در بخش دوم مجموعه ی فازی، مجموعه ی ‎آلفا-‎برش ها، میدان فازی و فضای خطی فازی روی آن را تعریف می کنیم. همچنین مفهوم عدد فازی، عدد فازی مثبت و اعمال ریاضی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد فازی را تعریف و روابط مرتب جزیی را برای مقایسه و شناخت و درک کامل تری از فضای اعداد حقیقی فازی ارائه می کنیم. پس از تعریف فضای برداری فازی روی مجموعه ی اعداد فازی به تعریف تابع توزیع و تابع توزیع مثبت می پردازیم و برای مجموعه توابع توزیع اعمال جمع، ضرب، ضرب اسکالر و همچنین یک رابطه مرتب جزیی ارائه می دهیم و کوچک ترین فضای برداری حقیقی شامل مجموعه ی توابع توزیع مثبت را می سازیم که در واقع یک جبر جابجایی و شرکت پذیر است که یکی از ضرب های داخلی فازی ارائه شده در فصل دوم، بر اساس آن تعریف می شود. در بخش سوم نرم فازی ای را تعریف می کنیم که وابسته به ضرب داخلی فازی جدیدی که در فصل سوم ارائه شده است، می باشد. همچنین پس از تعریف مفاهیم کوشی بودن و همگرایی دنباله ها بر اساس آن به تعریف فضای باناخ فازی می پردازیم. فصل دوم تنها جنبه معرفی ضرب های داخلی فازی ای که تا کنون ارائه شده است‏، را دارد. در هر بخش به تعریف یک ضرب داخلی فازی و نرم فازی وابسته به آن می پردازیم. فصل سوم که فصل اصلی پایان نامه است پنج بخش را در بر دارد. در بخش یکم ضرب داخلی فازی روی فضای برداری حقیقی را تعریف می کنیم و مثالی برای آن ارائه می دهیم. در بخش دوم نوعی عمود بودن را بر پایه ضرب داخلی فازی تعریف می کنیم و سپس به کمک آن، دو شرط از تعریف ضرب داخلی فازی را در قالب یک شرط بازنویسی می کنیم. همچنین در بخش سوم نوعی نامساوی کوشی-شوارتز را اثبات می کنیم. در بخش چهارم با استفاده از نامساوی کوشی-شوارتز ثابت می کنیم که ضرب داخلی فازی مذکور، نرم فازی ارائه شده در بخش سوم فصل اول که از نوع بگ و سامانتا است را تولید می کند و تعریفی از فضای هیلبرت فازی را بر پایه آن به دست می دهیم. در بخش پنجم صورتی از قانون متوازی الاضلاع را بیان و اثبات می کنیم و همچنین صورت معادلی برای آن ارائه می دهیم.