یک نوع از مسائل بهینه سازی‏، بهینه سازی در مسائل برنامه ریزی خطی تک هدفی ltrfootnote {‎single ‎objective ‎linear programming‎}‎‎است‏، برنامه ‎ ریزی خطی تک هدفی ‎ یکی از مهمترین تکنیک های تحقیق در عملیات ‎ltrfootnote {‎operational ‎resea‎rch‎}‎‎ است که برای حل بسیاری از مسائل دنیای حقیقی به کار می رود. با این حال در بسیاری از مسائل واقعی‏، مدل سازی کردن با یک تابع هدف به خوبی مفهوم مورد نظر را بیان نمی کند و تصمیم گیرنده اغلب با فاکتورهای متناقض زیادی روبرو است. جهت رفع این مشکل کان - تاکر ltrfootnote {‎kuhn . h.w.tucker .a.w‎‎}‎‎‎ در سال 1951 مسائل برنامه ریزی خطی چندهدفی ‎‎$‎(molp)‎$‎ ltrfootnote { ‎m‎ultiobjective linear programming‎}‎‎‎‎‎ را معرفی کرد. مسائل ‎‎$‎molp‎$‎ ‏، به طور هم زمان دو یا چند تابع هدف مختلف را بهینه می کند. در چنین مسائلی یک جواب بهینه کامل وجود ندارد بلکه در آن جواب های بهینه "پارتو" را به دست می آوریم. جواب های پارتو‏، مجموعه ای از جواب ها هستند که نسبت به هم برتری ندارند‏و در سال 1986‏‏، از نام یک اقتصاددان به نام "ویلفردو پارتو"گرفته شده است.‎‎ ‎پس از معرفی منطق "فازی" در سال 1965 توسط پروفسور لطفی عسگری زاده‏، مسائل تصمیم گیری در محیط فازی در سال 1970 توسط بلمن و زاده‎ ارائه شد. در سال 1978 توسط زیمرمن ‎ برای اولین بار مسئله ‎‎‎‎molp‎‎ قطعی‏، به روش فازی حل شد. در بسیاری از مسائ‎ل‎ ‎‎molp‎‎، ضرائب تو‎‎ابع هدف و محدودیت های ارائه شده به متخصصین‏، نادقیق و مبهم است‏. لذا در این نوع از مسائل مناسب تر آن است که این پارامترها توسط اعداد فازی نمایش داده شوند.‎‎ از سال 1978 تا سال 1993 توسط ساکاوا ‎‎‎ و استنلی ‎‎‎ و زیمرمن حالات مختلف مسئله فازی به طور کلی بحث شد. ‎مسائل‎ برنامه ریزی خطی چندهدفی فازی ‎ (‎fuzzy multiobjective linear programming‎) ‎‎‎(‎fmolp)‎ می تواند انواع مختلفی داشته باشد‏، حالتی که در آن تنها ضرایب توابع هدف با مقادیر فازی معرفی شده باشند‏، یا حالتی که در آن ضرایب تکنولوژیکی فازی باشند یا مقادیر سمت راست با اعداد فازی بیان شده باشند. در این رساله حالتی را در نظر می گیریم که در آن همه ضرایب توابع هدف‏، ضرایب تکنولوژیکی و مقادیر سمت راست‏، به صورت فازی نمایش داده شوند.‎‎ ‎روش های مختلف و زیادی برای حل مسائل چندهدفی وجود دارد که در این رساله به دو مورد پرداخته شده است‏. روش اول که به روش ژانگ ‎( ‎zhang‎)‎ ‎‎ معروف است و در آن همه توابع هدف‏، به طور هم زمان و همه جانبه مورد بررسی قرار می گیرد‎‎. روش دوم به روش قاسیمف ‎(‎ghasimov‎)‎‎ معروف است و درآن توابع هدف براساس اهمیتشان اولویت بندی و مرتب می شوند و در هر مرحله یک مسئله تک هدفی مورد بررسی قرار می گیرد و مقدار بهینه به دست ‎آمده در هر مرحله به عنوان محدودیت برای تابع هدف بعدی به کار برده می شود تا اولویت توابع محفوظ بماند.

یک معادله دیفرانسیل فازی fde را با استفاده از مفهوم دیفرانسیل پریزی کلی شده قوی تفسیر می کنیم سپس سپس نشان می دهیم که با این مفهوم هر معادله دیفرانسیل فازی را می توان به یک دستگاه از معادله دیفرانسیل عادی ode تبدیل کرد سپس با حل کردن معادله دیفرانسیل عادی مرتیط دو جواب را برای معادله دیفرانسیل فازی به دست می اوریم که در ان روش تقریب رانگ کوتا کلی شده از مرتبه دو و سه بیان میکنیم و انالیز خطلی آن را نسان می دهیم

انسان در زندگی روز مره خود تصمیمات بسیاری می گیرد.این تصمیمات از مسائل شخصی تا مسائل بزرگ را شامل می شود. معیار در تصمیم گیر ی ممکن است به دو صورت شاخص و یا هدف ارائه شوند.بر این اساس مدلهای چند معیاره به دو دسته چند شاخصه و چند هدفه تقسیم می شوند. در حالت چند شاخصه با مسائلی سروکار داریم که تصمیم گیرنده می خواهد با توجه به عوامل چند گانه،از بین چندین گزینه یکی را انتخاب و یا گزینه ها را رتبه بندی کند.حالت چند هدفه برای مسائلی بکار گرفته می شود که تصمیم گیرنده می خواهد با توجه به اهداف چند گانه میزان هر فعالیت را مشخص کند. در اکثر مسائل تصمیم سازی عموما اهداف و عوامل متعددی مطرح می-شود.سعی می شود که چندین هدف را همزمان بهینه کند و ممکن است که این اهداف گاها همراستا و بعضا متقابل و متضاد باشند. فرایند بهینه سازی،انتخاب بهترین جواب را امکان پذیر می سازد.در مواردی برای دستیابی به این جوابها با حل برخی مسائل بهینه سازی مواجه می شویم که در بسیاری از این مسائل،ضرایب تابع هدف نا دقیق و مبهم هستند.لذا در این نوع از مسائل مناسب تر آن است که این پارامترها توسط اعداد فازی نمایش داده شوند.پس از معرفی منطق فازی در سال 1965توسط زاده ،مسائل تصمیم گیری در محیط فازی در سال 1970توسط بلمن و زاده ارائه شدند.در این رساله با تبدیل این مسائل که ضرایب تابع هدف فازی می باشند بصورت یک مسئله خطی چهار هدفی معادل به حل این مسائل پرداخته ایم.

در این مقاله روشی برای تولید توابع غنی سازی شده در روشهای اجزای محدود تعمیم یافته (gfem) با استفاده از داده های شبیه سازی شده و / یا آزمایشی ارائه داده شده است. تحقیق بر پایه ی روش تجزیه متعامد ویژه (pod) هست، که برای تولید نمایش رتبه کاسته از داده ها که شامل اطلاعات کلی درباره جواب معادلات دیفرانسیل جزئی است استفاده شده است. یکی از اصلی ترین چالش ها در این قبیل روش های اجزای محدود غنی شده دانستن چگونگی انتخاب قیاسی، توابع غنی سازی که خاصیت معادلات حاکم را حفظ می کند است. تجزیه متعامد ویژه زیرفضاهای کم مرتبه، که در بعضی از نرم ها بهینه اند، برای تقریب یک مجموعه داده شده تولید می کند. برای مسائل بیشتر، چون خطای جواب در روش های گالرکین توسط خطا در تقریب بهینه محدود شده است، یکی از انتظارات این است که خواص تقریب بهینه از pod می تواند برای ساخت توابع غنی سازی کارا مفید باشد. ما پتانسیل این تحقیق را درخلال سه مثال عددی نشان داده ایم. مطالعه های تقریب بهینه برای آشکار نمودن مزایای استفاده از مودهای pod به عنوان تابع غنی سازی در gfem بر پایه های معمول pod انجام می شوند.

گراف ها مدل های ریاضی کارآمدی برای تحلیل بسیاری از مسائل دنیای واقعی هستند. نظریه جبری گراف شاخه ای از ریاضیات است که گراف ها را با استفاده از خاصیت های جبری ماتریس ها ی وابسته به آن ها مورد مطالعه قرار می دهد. به صورت دقیق تر‏، نظریه طیفی گراف به مطالعه روابط بین ویژگی های گراف و طیف ماتریس مجاورت و ماتریس لاپلاس آن می پردازد. نظریه‎ طیفی گراف کاربردهای بسیاری دارد. بنیان گذاران شرکت گوگل با محاسبه بردارویژه پرون-فروبنیوس گراف شبکه ای توانستند به ثروت هنگفتی دست پیدا کنند. کوچک ترین بردارویژه یک گراف اطلاعات مفیدی در خصوص عدد استقلال و عدد رنگی گراف به دست می دهد. یکی دیگر از کاربردهای نظریه طیفی گراف یافتن طرح بندی های مناسب برای ترسیم یک گراف است. در نانوتکنولوژی این نوع از ترسیم گراف برای تحلیل شکلی نانولوله ها مورد استفاده قرار می گیرد.‎‎‎‎ ‎در فصل 1 به تعریف نمادگذاری های موردنیاز پرداخته و برخی از مفاهیم اساسی نظریه گراف و جبرخطی را یادآوری می کنیم. در فصل 2 نظریه طیفی را به شکل دقیق مورد بررسی قرار می دهیم و به برخی از نتایج نه چندان مشهور که پایه قسمتی از کار ما هستند‏، می پردازیم. در فصل 3 با ماتریس های مربوط به گراف و برخی از ویژگی های آن ها آشنا می شویم. این ماتریس ها برای تولید طرح بندی های طیفی بکار می روند. در فصل 4 توصیف طرح بندی های طیفی مختلف را با توصیف طرح بندی لاپلاسی آغاز می کنیم. برای دستیابی به یک ترسیم رضایت بخش‏، زمانی که تقارن کاهش می یابد‏، نیاز داریم که برخی تغییرات را بر روی طرح بندی لاپلاسی اعمال کنیم. در فصل 5 الگوریتم های مهمی که برای هر سه نوع ترسیم ارائه شده بکار می روند را مورد بررسی قرار می دهیم و یک پیاده سازی برای الگوریتم ترسیم طیفی گراف را در نرم افزار ‎‎‎‎maple به همراه نتایج اجرای آن ارائه می کنیم. در پایان فصل 5 به مسئله طرح بندی مسطح گراف می پردازیم و برای نخستین بار ضمن معرفی گراف های مسطح کمان دار با استفاده از برنامه های‎matlab‎‎ ‎ به چگونگی رفع مشکل ترسیم مسطح این گونه گراف ها می پردازیم. در فصل 6 کاربردهای طیف گراف برای تحلیل شکل نانولوله ها را مورد بررسی قرار می دهیم.

این پایان نامه در سه فصل تنظیم شده است: در فصل اول مقدماتی درباره ی حسابان فازی به منظور آشنایی با اعداد و تابع فازی بیان شده است که پیش نیازی برای فهم معادلات دیفرانسیل فازی می باشد و در ادامه مطالبی برای آشنایی با شبکه عصبی ارائه شده است. در فصل دوم مسئله مقدار اولیه فازی بیان شده و سپس به حل معادله دیفرانسیل فازی به دو روش عددی اویلر اصلاح شده و رانگ-کوتا پرداخته شده است و در نهایت چند مثال برای این روش ها ارائه گردیده است. در فصل سوم روش شبکه عصبی برای حل معادلات دیفرانسیل فازی بیان شده که طی آن مسئله مقدار اولیه به مسئله بهینه سازی نامقید تبدیل شده و سپس به حل آن برای تنظیم پارامترهای شبکه پرداخته شده است.

از آنجایی که معادلات حاکم بر بسیاری از مسائل از جمله مسائل مربوط به دینامیک شاره ها پیچیده ‏، غیر خطی و با بعد بالا می باشند بسیاری از تکنیک ها و ابزارهای سیستم های دینامیکی و نظریه ی کنترل برای اینگونه از مسائل ناکارآمد می باشند.لذا نیاز به روشی برای حل اینگونه از مسائل احساس می شود ‏، مدلهای کاسته مرتبه یکی از این روش ها می باشد.مدل کاسته مرتبه مستلزم پیدا کردن مدلی با بعد پایین تر ‏، به طوری که بتوان با آن ‏، مدل کامل را تقریب زد‏، می باشد. در این پایان نامه سه روش مختلف تجزیه ی متعامد ویژه ‏، برش های متوازن و تجزیه ی متعامد ویژه متوازن را برای ایجاد مدل های کاسته مرتبه ارائه و مقایسه می کنیم. برش های متوازن مدل های کاسته مرتبه ی بهتری را نسبت به تجزیه ی متعامد بهینه ایجاد می کند اما برای سیستم های با بعد بالا از لحاظ محاسباتی ناکارآمد می باشد لذا برای حل این مشکل روش تجزیه ی متعامد بهینه ی متوازن را ارائه می دهیم. این روش ‏، روشی کارآمد از لحاظ محاسباتی و دارای ارزش محاسباتی برابر با تجزیه ی متعامد بهینه می باشد.

در این پایان نامه ضمن ارائه تعاریفی مقدماتی از منطق فازی به بررسی معادلات دیفرانسیل فازی پر داخته و یک روش تقریبی برای حل عددی معادله دیفرانسیل فازی مر تبه اول با استفاده از روش آدومیان ارائه می دهیم به طوری که ابتدا راه حل تقریبی را در حالت خاص پیدا کرده سپس آن را در مورد فازی بسط می دهیم همچنین با استفاده از این روش مسا ئلی را حل می کنیم که روش های کلاسیک برای آنها نمی توانند مورد استفاده قرار بگیرند.

شبکه های عصبی مصنوعی ابزاری کارآمد در حل مسائل گوناگون می باشند و در برخورد با مسائل مختلف به صورت هوشمند عمل می کنند. این شبکه ها به عنوان مدلی ساده از سیستم عصبی، سعی در شبیه سازی فرآیند یادگیری و تصمیم گیری مغز انسان را دارد. از طرفی تبدیل موجک دارای خواص تعامد و محلی بودن می باشد. ترکیب توانایی های آنالیز چند مقیاسی تبدیلات موجک و قابلیت های طبقه بندی و تفکیک شبکه های عصبی مصنوعی که با جایگزینی توابع موجک در تابع محرک شبکه ی عصبی صورت می گیرد، الگوی جدیدی از هوش مصنوعی را تحت عنوان شبکه ی عصبی موجک، تشکیل می دهد. برای آموزش شبکه ی موجک الگوریتم پس انتشار پیشنهاد شده است.در این پایان نامه به طراحی شبکه های عصبی موجک و هم چنین بیان کاربردهایی از شبکه ی معرفی شده در علوم مختلف پرداخته شده است. با مقایسه ی نتایج تجربی بدست آمده و تحقیقاتی که در شبکه های دیگر صورت گرفته است، عملکرد مطلوب و دقت بالای این شبکه مشخص می شود. واژه های کلیدی: شبکه های عصبی موجک، شبکه های عصبی، موجک، کاربردهای شبکه ی موجک.

در این پایان نامه، نحوه ی به کارگیری و استفاده از توابع گرین برای یافتن پایه ی جواب های معادله ی دیفرانسیل همگن ‎ نشان داده می شود، که در آن یک عملگر بدست آمده از حاصل ضرب ترکیبی عملگرهای به صورت ‎ ‎ می باشد. با استفاده از پایه ی جواب های تا از معادلات دیفرانسیل خطی معمولی، به صورت ‎ پایه ی جواب معادله ی اصلی ‎ به دست می آید. در عملگرهای ذکر شده ی فوق، ‎یک عملگر دیفرانسیلی از مرتبه ی ‎ تعریف شده به صورت زیر است: هر یک از ضرایب ظاهر شده در عبارات فوق دارای خاصیت زیر هستند: : بنابر این داریم ، که یک عملگر دیفرانسیلی از مرتبه ی می باشد.در نهایت نتایج به دست آمده را در قالب چند مثال به صورت معادلات دیفرانسیل کلاسیک و جواب های خاص آن ها، ارائه می کنیم. واژه های کلیدی: تغییرات پارامترها، توابع گرین، معادله ی لژاندر، معادله ی بسل،معادله ی ایری.‎

فرض کنید gیک گراف همبند، غیرجهت دارساده باn رأس و mیال باشد. عددچرخه گراف g به صورت m-n+1 تعریف می شود. برای اعداد بدست آمده 1 یا 2، g را به ترتیب1- دور یا 2- دور می نامیم. شعاع طیفی گراف g به صورت بزرگترین مقدارویژه ی ماتریس مجاورت g تعریف می شود. در این رساله به بررسی نتایج شعاع طیفی لاپلاسین بی علامت یک گراف، هنگامی که عملیاتی مانند جابجایی یال ها ویا زیر تقسیم بندی یال ها در گراف به کاربسته می شود، می پردازیم.هم چنین بزرگترین شعاع طیفی لاپلاسین بی علامت را دربین همه ی گراف های 1-دور با n رأس وk رأس آویزان شناسایی می کنیم. علاوه براین گراف هایی با بزرگترین شعاع طیفی لاپلاسین بی علامت را به ترتیب دربین همه ی گراف های 1-دور و 2-دور با n رأس وk رأس آویزان تعیین می کنیم.

مسأله ی پواسون از جمله معادلات مهم و کاربردی است که برای بسیاری از مسائل فیزیکی شامل رسانائی حرارت‏، میدان های الکتریکی و مغناطیسی و واکنش های شیمیائی مورد استفاده قرار می گیرد. روش های بسیاری برای حل معادله ی پواسون مانند روش اجزای محدود، روش تفاضل متناهی، روش اجزای مرزی و ‎نظایر آن وجود دار‎‎ند که روش اجزای محدود در این پایان نامه استفاده شده است. هدف اصلی پایان نامه‏، معرفی روش جدیدی با عنوان hfs-fem برای حل معادله ی پواسون است که بر اساس هسته های ‎ ‎‎‎‎f-trefftz(جواب های بنیادی) فرمول بندی شده است. در انتها یک مثال عددی برای توضیح بیشتر روش گفته شده‏، ارائه گردیده است. کلمات کلیدی: معادله ی غیرخطی پواسون‏، روش پیوندی اجزای محدود‏، جواب بنیادی‏، تابع پایه ی شعاعی‏، روش پیوندی اجزای محدود f-trefftz.

امروزه ترسیم گراف و نیز ترسیم لاتیس به عنوان زیرشاخه ای از ترسیم گراف با استفاده از برنامه های کامپیوتری بسیار مورد توجه قرار گرفته است. برای رسیدن به یک ترسیم قابل قبول از گراف و لاتیس‏، الگوریتم های مختلفی ارائه شده است. برخی از این الگوریتم ها برای ترسیم گراف ها در حالت عمومی (به طور معمول بدون جهت) به کار گرفته می شوند اما برخی برای ترسیم گراف های با ویژگی های معین مورد استفاده قرار می گیرند. یکی از روش های بسیار پرکاربرد در ترسیم گراف روش های مبتنی بر هدایت تحمیلی هستند. روش های هدایت تحمیلی متعارف‏ برای ترسیم گراف های بدون جهت، بر پایه دافعه رأس-رأس یا رأس-یال قرار دارند. در فصل 2 به بررسی یک روش جدید هدایت تحمیلی بر پایه دافعه یال-یال برای ترسیم گراف می پردازیم. در این روش یال های گراف را فنرهای فشرده در نظر می گیریم و ترسیم نهایی را می توان با تنظیم کردن موقعیت رأس ها با توجه به نیروهای فنر و نیروهای دافعه‏ ناشی از میدان های پتانسیل‏ بین یال ها به دست آورد. برتری این روش جدید نسبت به روش های پیشین‏، حل مسئله وضوح زاویه ای صفر و نیز جلوگیری از هرگونه تقاطع یال های واقع بر رأس مشترک است. با در نظر گرفتن ترسیم به دست آمده از رو ش های متعارف هدایت تحمیلی به عنوان ورودی در روش جدید‏، نتایج آزمایشی نشان داده است که در روش جدید نه تنها ویژگی های اصلی چون درجه بالای تقارن و یکنواختی طول یال ها حفظ می شود بلکه از وضوح زاویه ای صفر جلوگیری شده و به طور معمول دارای میانگین وضوح زاویه ای بالایی نیز هست. با این وجود لازم است توجه کنیم که وجود درجه بالایی از تقارن و میانگین وضوح زاویه ای بزرگ تر بدون صرف هزینه به دست نمی آید و همان طور که در برخی نتایج آزمایشی مشاهده می شود می توانند سبب افزایش انطباق رأسی در ترسیم نهایی شوند. برای حل این مشکل‏، یک روش ترکیبی را که از دو نیروی دافعه یال-یال و دافعه رأس-رأس در ترسیم گراف استفاده می کند‏، به کار می گیریم. یک ترسیم جدولی از یک گراف مسطح شده ‎g یک ترسیم از ‎ g‎‎ روی یک صفحه است که در آن رأس های g روی نقاط صحیح صفحه قرار داشته باشند و همه یال ها به صورت پاره خط های مستقیم ترسیم شوند و نیز هیچ تقاطع یالی وجود نداشته باشد. در فصل 3 یک الگوریتم برای ترسیم یک گراف 4-همبند مسطح شده g‎‎ با حداقل 4 رأس روی وجه بیرونی‏، ارائه می کنیم. اگرg‎ دارای ‎‎‎‎n‎‎ رأس باشد‏، الگوریتم برای اجرا‏، زمان ‎ o(n) را صرف می کند و به یک مستطیل با عرض ‎‎ ‎[n/2] ‎-1‎ و ‎‎طول ‎‎ ‎[‎n/2‎ ]‎‎ برای ترسیم نیاز دارد. نمودارهای لاتیس که آن ها را با نام دیاگرام های هاس می شناسیم‏، که خود گونه ای از نمودارهای گراف هستند‏، نقش مهمی در نظریه لاتیس و زمینه هایی که از لاتیس استفاده می شود‏، ایفا می کنند. با توجه به اینکه در سال های اخیر لاتیس ها را می توان با استفاده از نرم افزارهای مختلف ایجاد کرد‏، وجود نرم افزارهایی که قابلیت ترسیم لاتیس ها را نیز داشته باشند بسیار مهم و ضرروی گشته است. در فصل 4 نقش و تاریخچه دیاگرام های هاس از لاتیس ها را به اجمال ارائه کرده و الگوریتمی را که یک دیاگرام هاس مطلوب از یک لاتیس ایجاد می کند‏، بررسی می کنیم.