گراف ip ابتدا در دهه 1990 توسط آیساک و پرگر معرفی و توسط برترام و دیگران به گرافی که اندازه رده های مزدوجی یک گروه متناهی به عنوان رئوس آن در نظر گرفته می شود، تعمیم داده شد. در این پایان نامه در فصل اول ابتدا طرح وابسته به یک مجموعه و طرح وابسته با ظرفیت طبیعی را تعریف کرده و سپس به معرفی گراف ip از یک طرح وابسته با ظرفیت طبیعی می پردازیم. همچنین در فصل دوم قضایای مربوط به روابط بین درجه ها در طرح وابسته با ظرفیت طبیعی را بیان می کنیم. در فصل سوم قضایایی در رابطه با طرح وابسته با ظرفیت طبیعی با رادیکال ضعیف بسته را مطرح و ثابت می کنیم. بالاخره در فصل آخر برای طرح وابسته (x, s) با ظرفیت طبیعی ، زیرمجموعه بسته نرمال و قویاً نرمال از s را تعریف و به بیان قضایایی در این رابطه می پردازیم.

در این پایان نامه، پس از بیان مفاهیم و مقدمات لازم، به بررسی ساختارهای جبری از نظریه مجموعه های ناهموار پرداخته و بر اساس مفهوم مجموعه های تعریف پذیر در نظریه مجموعه های ناهموار، دو زیرجبر بولی مهم در نظریه ی مجموعه های ناهموار تعمیم یافته بیان می شود و الگوریتمی برای محاسبه ی اتم های این جبرها ارائه می شود. پس از آن، به بیان تعمیمی از مجموعه های ناهموار روی مشبکه های فازی پرداخته و سپس با استفاده از مشبکه ی ماتریسی، الگوریتمی ساده برای محاسبه ی تقریب های پایین و بالا از یک مجموعه ی مرجع متناهی ارائه می شود، همچنین با معرفی دستگاه اصولی از مجموعه های ناهموار روی مشبکه های فازی، یک رویکرد اصولی از تقریب بالا بیان می شود. در ادامه، با استفاد از مفهوم ایده آل فازی هم اول به بیان تعمیمی از مجموعه های ناهموار با استفاده از مفهوم نقطه ی مرجع می پردازیم و در پایان با تعریف زیر مدول فازی هم اول به بیان کاربرد نقاط مرجع در مدول ها پرداخته و به این وسیله تعمیم دیگری از مجموعه های ناهموار ارائه می دهیم.

در این پایان نامه ابتدا به بررسی گراف های پوششی و ولتاژ گراف ها می پردازیم‎.‎ سپس گراف های رأس-انتقالی غیرکیلی مکعبی از مرتبه4p^2 را مورد بررسی قرار داده و ثابت می کنیم هر گراف رأس-انتقالی غیرکیلی از مرتبه 4p^2 (7 < p‎) ‎‎ یک گراف پترسن تعمیم یافته غیرمتقارن است. ‎‎ ‎‎‎همچنین نشان می دهیم که سیلو p-زیرگروه‎ گروه خودریختی گراف رأس-انتقالی مکعبی از مرتبه ‏‎2p^n‎ ‎( n‎ ‎‎? ‎p‎) ‎ یک زیرگروه نرمال است و درپایان، با استفاده از گراف پوششی و ولتاژ گراف ثابت می کنیم که این دسته از گراف ها دارای گروه خودریختی هستند که دارای n مدار از طول 2 است.

‏اگر در تعریف حلقه حداقل یکی از عمل ها را به عنوان ابرعمل در نظر بگیریم‏، تعریف های متفاوتی برای ابرحلقه حاصل می شود.‎‎ یک تعریف آشنا از یک ابرحلقه‏، ابرحلقه ی کراسنر است cite{krasner} که با در‎~‎نظر گرفتن جمع به عنوان یک ابرعمل به دست می آید به طوری که ‎$ ‎(r,+) $‎ ‏‎ ‎یک‎ ابرگروه کانونی است. یک مطالعه ی کلی از نظریه ی ابرحلقه ها در مرجع cite{davvaz2}‏ انجام گرفته است. حلقه ی ترکیبی به عنوان یک جبر سه‎‏ عملیاتی ‎$ ‎(r,+,cdot,circ)‎ $‎ توسط ادلر‎ltrfootnote{ adler}‎ در سال 1962 معرفی شد ‏به طوری که ‎$ ‎(r,+,‎cdot‎)‎ $‏ یک حلقه ی جابجایی و عمل ترکیبی ‎$ circ $‎ شرکت پذیر و نسبت به عمل های ‎جمع‏ و ضرب ‎ توزیع پذیر راست است‎‎‎. هم چنین‏ منگر‎ltrfootnote{ menger}‏‎‎ ‎‎و مانسltrfootnote{ mannos} تعریف‎‏ های متفاوتی برای جبر سه عملیاتی ارائه ‎‎‏دادندcite{menger1,menger2, mannos}. در فصل اول این پایان نامه‏، مفهوم حلقه های ترکیبی را مورد بررسی قرار ‎‏داده و خواص مهم آن ها را بیان می کنیم.‎ مقاله و مرجع اصلی این فصل‏، مرجع ‎cite{adler}‎‏ می باشد. ابرحلقه ی ترکیبی به‏ عنوان یک ساختار جبری چهارتایی ‎$ ‎(r,+,‎cdot‎,circ)‎ $‎ توسط کریستاltrfootnote{ crista} و جانسیک‎ راسوویکltrfootnote{ janc‎ic-rasovic}‏ در سال 2012 ‏معرفی شد به طوری که ‎$ ‎(r,+,cdot)‎ $‏ یک ابرحلقه ی جابجایی است و ابرعمل ترکیبی ‎$ ‎circ‎ $‏ شرکت پذیر و نسبت به جمع و ضرب توزیع پذیر راست است‎‎. در فصل دوم‏، مفهوم ابرحلقه ی ترکیبی را مورد مطالعه قرار می دهیم و نشان می دهیم که ساختار ترکیبی یک ابرحلقه توسط کلاسی از درون ریختی های آن مشخص می شود. هم چنین قضایای یکریختی نظریه ی حلقه ها را در زمینه ی ابرحلقه های ترکیبی نتیجه می گیریم.‎ بیشتر مطالب این فصل از مرجع ‎cite{crista}‎‏ گرفته شده است. یک تعمیم مناسب از یک ابرگروه‏، ‎$ ‎n‎ $‎‏-ابرگروه نامیده شد که توسط دواز و ووجیوکلیسltrfootnote{vougiouklis} در سال 2006 معرفی شده و مورد مطالعه قرار گرفتcite{davvaz4}. ‎‏هم چنین‏ دواز و دیگران در سال 2009 کلاسی از ابرسیستم های جبری را در نظر گرفتند که تعمیمی از نیم گروه ها‏، ابرنیم گروه ها و ‎$ ‎n‎ $‎‏-نیم گروه هاست cite{davvaz6}. سپس لئورنیو فوتی‎ltrfootnote{leoreanu-fotea} ‎‎ ابرگروه های کانونی ‎$ ‎n‎ $‎‏-تایی را مورد مطالعه قرار داد cite{leoreanu-fotea}. اخیراً ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه های کراسنر توسط میروکیلی و دواز معرفی شده و مورد بررسی قرار گرفته اند cite{mirvakili2}. ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه های کراسنر تعمیم های مناسب ابرحلقه های کراسنر هستند. ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-‎‎ابرحلقه در فرم کلی در cite{davvaz5, mirvakili1}‏ به عنوان ساختار توزیع پذیر قوی معرفی شد. سپس در cite{jancic2} جانسیک راسوویک و داسیکltrfootnote{dasic} آن را با معرفی مفهوم ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه با توزیع پذیری شمول تعمیم دادند. در فصل آخر این پایان نامه یک ساختار ترکیبی برای ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه ها پیشنهاد داده و آن را ‎$ ‎(m,n,k)‎ $‎‏-ابرحلقه ی ترکیبی می نامیم که تعمیمی از حلقه های ترکیبی و ابرحلقه های ترکیبی است. مثال هایی از این مفهوم جدید ارائه ‎‎‏می دهیم و قضایای یکریختی نظریه ی حلقه ها را برای آن نتیجه گرفته و اثبات می نماییم.