در این پایان نامه پس از بررسی مساله نمودار و رونوی چند روش حل این مساله و همچنین به معرفی دوگان این مساله و کاربردهای آن می پردازیم. پس از معرفی نمودار ورونوی به ارایه تعمیم های مختلفی از آن پرداخته می شود و بحث را با ت کیه برتعمیم های خاص نمودار ورونوی پی می گیریم که زاویه در این تعمیم ها نقش دارد. دو نوع تعمیم یافه در رابطه مذکور قلامطالعه شده است که آنها را در ادامه رساله بررسی می کنیم و از این میان به بررسی دقیق و کامل یکی از آنها با نام نمودار قطبی می پردازیم این نوع نمودار همان نمودار ورونوی است که در ان متر اقلیدسی فاصله با معیار زاویه جایگزین شده است و ملاک داشتن کمترین زاویه قطبی تعیین کننده شکل تمودار است. پس از مطالعه کامل نمودار قطبی و ارایه الگوریتم رسم و کاربردهای آن به معرفی و بررسی مسایل جدید در این رابطه می پردازیم که حاصل مطالعه و نتایج اصلی این رساله دکتری هستند. نتایج جدیدی که در این رساله بدست آمده و معرفی می شوند به صورت زیر هستند. در ابتدا دوگان نمودار قطبی تعریف می شود و سپس حالت خاصی از دوگان با نام دوگان منقبض شده معرفی می گردد سپس با ارایه الگوریتمی برای رسم دوگان منقبض شده نمودار قطبی کار را پی می گیریم از این مفهوم و الگوریتم مرتبط با آن در بخش بعدی استفاده می کنیم که به مساله نمودار قطبی پویا معرفی است. از آنجایی که در این مساله جدید پس از رسم نمودار قطبی اولیه سایتهای جدیدی به آن اضافه و یا از آن حذف می شد بنابراین می توان این مساله را مساله نمودار قطبی لحظه ای (یا در لحظه ) نامید پس از معرفی مساله ضمن بررسی راه های مختلف حل آن الگوریتم قابل قبولی برای مساله نمودار قطبی پویا ارایه می کنیم.

نمونه برداری فشرده یک روش نمونه برداری سیگنال است که این قابلیت را ایجاد می کند تا ضمن نمونه برداری با نرخ های بسیار کمتر از نرخ نایکوئیست بتوان سیگنال را با دقت مناسبی بازسازی کرد. در یک سیستم نمونه برداری فشرده با دو مسئله طراحی ماتریس فشرده ساز مناسب و یافتن شیوه مناسب برای بازسازی سیگنال روبرو هستیم. یک ماتریس فشرده ساز را می توان به صورت تصادفی یا یقینی طراحی کرد. ماتریس های با ساختار یقینی نسبت به ماتریس های تصادفی دارای مزیت هایی مانند حافظه کمتر و پیاده سازی راحت تر می باشند. در این پایان نامه بر شیوه های طراحی ماتریس، به صورت یقینی تمرکز می کنیم. ثابت شده است که اگر یک ماتریس در شرایطی موسوم به rip صدق کند؛ می توان سیگنال فشرده شده با این ماتریس را به خوبی بازسازی کرد؛ بنابراین برای طراحی ماتریس فشرده ساز روی این شرایط تمرکز می کنیم. بررسی شرایط rip در حالت کلی کار دشواری است اما خوشبختانه نشان داده شده است که اگر ماکزیمم ضرب داخلی بین هر دو ستون یک ماتریس مقدار کمی باشد؛ آنگاه آن ماتریس در شرایط rip با ثابت مناسبی، صدق می کند. یک روش معمول در طراحی این گونه از ماتریس ها، استفاده از ماتریس های تولید شده توسط کدهای کانال است. ما با تمرکز روی دسته خاصی از این کدها که به کدهای هندسه جبری موسوم هستند تلاش می کنیم ماتریس های مناسبی طراحی کنیم. با کمک این کدها چند ماتریس فشرده ساز جدید پیشنهاد می شود که نسبت به ماتریس های تصادفی عملکرد بهتری دارند. ابتدا با استفاده از چندجمله ای های همگن در فضای تصویری متناهی یک گروه از ماتریس های فشرده ساز معرفی می شود؛ این ماتریس ها دارای ابعاد متنوعی هستند و در نتیجه در عمل می توانند به طور مناسب تری با ساختارهای واقعی تطبیق یابند. با استفاده از کدهای هندسه جبری، گروه جدیدی از ماتریس های فشرده ساز ارائه می شود. در این پایان نامه بر روی دو خم جبری تحویل ناپذیر ماکزیمال تمرکز کردیم. به علاوه انتظار داریم با استفاده از این کدها بتوان ماتریس ها با ابعاد متنوعی ساخت که در عمل می توانند به طور مناسب تری با ساختارهای واقعی تطبیق یابند.

چکیده ندارد.