در این رساله که بر دو فصل مشتمل است به بررسی روشهایی برای حل دستگاههای چندجمله ای می پردازیم. در فصل اول از روشی به نام "روش هموتوپی" استفاده می کنیم. بنابراین روش ابتدا یک دستگاه هموتوپی از معادلات را تعریف نموده و نشان می دهیم که جوابهای این دستگاه معادلات را تعدای متناهی خم تشکیل می دهد. این خمها، خمهای انتگرال یک دستگاه معادلات دیفرانسیل (که از دستگاه هموتوپی به دست می آیند) بنام دستگاه معادلات دیفرانسیل اساسی، می باشند. در اثبات قضایای فصل اول ابتدا از دو فرض "منطم بودن" و "مشتقپذیری" استفاده کرده ایم و سپس در پایان قضایا را بدون این دو فرض ثابت نموده ایم. در فصل دوم به بیان روش تمدید هموتوپی مخلوط پرداخته ایم و در آخر، کاربردهای این روش را در علوم دیگر نشان می دهیم.

این پایان نامه شامل جنبه های مختلفی از ریاضیات نوین و علوم کامپیوتری مانند هندسه جبری محاسباتی و محاسبات نمادین می باشد. فصل اول به پیشنیازها می پردازد. در فصل دوم الگوریتمی را برای محاسبه پایه گروبنر ، پایه ای که در حل نمادین دستگاهها کاربرد زیادی دارد، ارائه می شود. قضیه مکانهای صفر و چندجمله ایهای نهایی در فصل سوم ارائه خواهند شد. در پایان راه حلی را برای یک مسئله از نظریه ماتریسها، مسئله جانسن ، بعنوان کاربردی از مباحث بالا را خواهیم داشت .

اولین بار دراواخر قرن نوزدهم یک ساختار پواسون روی r r به صورت یک ساختار جبرلی روی که در اتحاد " لایب نیتز " صدق کند، توسط "لی" معرفی شد. توسیع یک چنین ساختارهایی روی یک خمینه همواره m، تاسال 1977 میسر نشد . دراین سال "لیشنرویچ " با مهجز ساختن یک خمینه هموار m به یک -2 تانسور پادوردپاد متقارن g روی m، بطوریکه کروشه "شوتن" g و g صفر شود، خمینه پواسون (m,g) را تعریف کرد. و ثابت نمود که وجود تانسور مذکور باوجود یک ساختار جبرلی بر (m) که دراتحاد لایب نیتز صدق کند هم ارزاست . مقاله لیشنرویچ فقط به بررسی خمینه های پواسون بارتبه ثابت می پرداخت اما درسال 1983 واینستاین به بررسی خمینه های پواسون درحالت کلی پرداخت . دراین پروژه کوشش شده است این نظریه شبیه فرمالیسمی که درهندسه سیمپلکتیک داریم، دنبال شود. سپس به یک سلسله نتایج، از جمله : وجود یک برگ بندی برای خمینه های پواسون که دراین برگ بندی، هربرگ به یک خمینه سیمپلکتیک تبدیل می شود، وجود دستگاه مختصات متعارفی روی یک چنین خمینه ها، وابسته شدن جبرهای لی و جبرهای کوهمولوژی متعدد به این خمینه ها و ... پرداخته شده است .

در این پایان نامه که بر دو فصل مشتمل است به بررسی انتخاب نقطه آغازین مناسب برای روش نیوتن که یکی از روشهای تکراری برای پیدا کردن صفر توابع می باشد، می پردازیم. در فصل اول نقطه ای را به عنوان ((صفر تقریبی نوع دوم)) برای تابع مورد نظر تعریف نموده و نشان می دهیم که انتخاب این نقطه به عنوان نقطه شروع روشن نیوتن این تابع، مناسب است. در این فصل ابتدا از دو فرض ((تحلیلی بودن)) و ((دانستن یک یا چند ریشه)) تابع مورد نظر استفاده کرده ایم. در فصل دوم بدون فرض ((دانستن یک یا چند ریشه تابع)) نقطه ای را به نام ((صفر تقریبی)) برای آن تابع تعریف می کنیم که این نقطه، نقطه شروعی مناسب برای روند تکراری نیوتن آن تابع، سپس به نحوه تعیین این نقاط برای توابع و بررسی خواص آن می پردازیم.