در مکانیک آماری عدم تعادل تحول زمانی یک سیستم توسط جوابهای معادله لیووی تعیین میشود. بدلیل بستگی این معادله به هامیلتونی سیستم، تنها برای چند پتانسیل ساده این معادله تاکنون حل شده است . در اینجا بااستفاده از تقارنهای این معادله، جوابهای آن برای پتانسیل هماهنگ ساده در یک ، دو و سه بعد تعیین میشوند. بدلیل هرمیتی بودن عملگر لیوویل توابع ویژه این عملگر تشکیل مجموعه کامل را میدهند. بنابراین در صورت تعیین شدن توابع ویژه این عملگر میتوان جوابهای معادله را بر حسب این توابع بسط داد. هر تقارن در معادله لیوویل یک نوع تبهگنی را جوابهای این معادله بوجود میاورد. جهت بازکردن این تبهگنیها عملگرهایی هرمیتی تعریف شده که با عملگر لیوویل جابجا میشوند. تعداد این عملگرها بعلاوه عملگر لیوویل برابر با تعداد تقارنهای معادله و برابر با تعداد متغیرهای مستقل در معادله دیفرانسیلی مقدار ویژه ای عملگر لیوویل است . این مجموعه از عملگرها دارای یک مجموعه کامل از توابع ویژه مشترک ناتبهگن هستند. این توابع با تعریف عملگرهای نردبانی مناسب و تاثیر این عملگرها روی تابع ویژه زمینه تعیین میشوند. توابع ویژه در هر حالت با شاخصهایی برابر با تعداد متغیرهای مستقل مسئله مشخص میشوند که هر کدام از این شاخصها مشخص کنند یک نوع تبهگنی هستند .