چکیده دراین پایان نامه خانواده ای ازگروه های بادومولدودو رابطه موردبحث قرارمی گیرند. گروه هایی ازاین نوع درسالهای 1907-1909 توسط میلر)miler(مطرح گردیدکه بحث آن در مرجع ]12[ آمده است .درسال 1940 کاکستر)coxeter(گروههایی ازنوع p,q,2 را که دارای نمایش زیرهستندموردبحث قرارداد r=s=)rs(> :³,q,2>=<r,s این خانواده ازگروههامتناهی هستندهرگاه سری دیگرازاین گروههادرسال 1970 توسط ومسلی)wamsley(موردبحث قرارگرفت که دارای نمایش زیربود. **** وی نشان دادگروه فوق نامتناهی است هرگاه **** برهان از ]14[ خانواده ها **** نمونه های دیگری ازاین نوع گروههاهستند که توسط آقای دکتردوستی (دررساله دکتری) درسال 1985 مطرح گردید.مرتبه هاوساختمانهای بعضی اززیرخانواده های گروههای مذکور رابطه نزدیکی باگروههای <p,q,2> و g**** دارند.موضوع بحث اصلی این پایان نامه نیزخانواده گروههای بادومولد ودورابطه **** بانمایش **** می باشدکه ازسال 1976 حدسی مهم در پنج قسمت درموردآنهامطرح گردیده است .موضوع حدس ،تعیین مرتبه گروهه**** است هرگاه <8,)a,b,c(=l ³c³ , ³b³ , ³a³ این نوع گروهها درحالتیکه a=b=c)mod m(وm>6 نامتناهی هستند . درحالات دیگر مرتبه آنهابااستفاده ازمرتبه تصویر همومورفیک آن،یعنی خانواده گروههای **** و **** محاسبه می شود وقتی **** متناهی باشد اندیس **** در **** برابر 8,2,1 یا 120 می باشد.برهان قسمت اول حدس مذکور ازمرجع ]4[ می باشدکه توس آن درفصل سوم آمده است ماباارائه مثالی روش حلی رابرای قسمت های دیگر آن پیشنه می کنیم برهان کامل این مثال درفصل چهارم خواهدآمد،دراینجاخلاصه ای ازفصول مندرج رابیان می کنیم . فصل اول شامل تعاریف ،قضایاوآلگوریتم هاست .درفصل دوم گروههای **** معرفی می شوند وبعدازبیان نتایج مقدماتی،برای حالاتی که بین c,b,a رابطه ای وجودداشته باشد مرتبه این نوع ازگروهها محاسبه می شوند.درفصل سوم اولین حدس فصل دوم رابررسی می کنیم برای بررسی این حدس ازمقاله ]4[ استفاده شده است دراین مقاله گروههای حل پذیر**** تشریح شده اند که بازای **** داریم **** : فصل چهارم مثال برای دومین حدس می باشدکه عنوان حدس چنین است . هرگاه c,b,a اعداد صحیح باشند)a,b c(=l و)a-c,c-b(=3 آنگاه رابطه **** در گروه **** برقراراست که درآن n=a+b+c درتکمیل این مثال بااستفاده ازالگوریت تعدیل یافته تادکاکسترنمایشی برای یکی اززیرگروههای **** بدست آوریم سپس ثابت کردیم رابطه **** در **** نیزبرقراراست واین نتیجه مهم به ایزومورفیسم **** منجرشده است تعمیم روش اثبات این مثال می تواند جوابی کامل برای حدس موردبحث باشد .