کلاف های برداری تعمیمی از ضرب خارجی یک فضای توپولوژیکی با یک فضای برداری است. در این طرح می خواهیم نشان دهیم که کلاس های مشخصه به هر کلاف برداری یک کلاس از فضای پایه نسبت می دهد. در ابتدا با یک نظر اجمالی ممکن است به نظر آید فانکتور کلافی مماس ممکن است ساده نباشد،زیرا کلاف برداری یک منیفلد به همراه یک ساختار اضافی است )زیرا یک کلاف مماسی به طور متعارف به یک منیفلد نسبت داده شده می شود..(تغییرات کلاس هایمشخصه منجر به تغییرات برای کلاف های مماس میشود.برای مثال قضیه چرن _ویل از کلاس های مشخصه ای است که در هندسه دیفرانسیل برای به وجود آوردن تغییرات بر کلاف های برداری استفاده میشود.کاربرد کلاف های مماس،کلاس های مشخصه منجر به دیفیومورفیسم های پایای عددی برای منیفلد می شود که اعداد مشخصه نامیده می شود.اعداد مشخصه برای مثال به ویژگی کلاسیک اولر تعمیم داده می شود. یک مقطع از کلاف برداری ?:e?mیک نگاشت از m به e است که هر نقطه ای از mرا به داخل تاری از کلاف روی همان نقطه می نگارد. همان طورکه می دانیم میدان های برداری و فرم های دیفرانسیل روی منیفلد هر دو مقطع هایی از کلاف های برداری روی منیفلد می باشد. در سال 1895 در یک سری از مقالات پیشگام، که با analysis situt شروع می شود پوانکاره مفهوم همولوژی را معرفی کرد و توپولوژی جبری مدرن را بنا گذاشت. به طور کلی، یک منیفلد فشرده بدون مرز یک چرخ است و یک چرخ با صفر متشابه است اگر مرز منیفلد دیگری نباشد. کلاس های هم ارزی از چرخ ها تحت رابطه ی همولوژی کلاس های همولوژی نامیده می شود. در سال 1931 جرج دراهام در پایان نامه ی دکترایش در نتیجه ی آنچه اکنون دراهام کوهمولوژی و همولوژی منفرد با ضرایب حقیقی ثابت می نامیم نشان داد که فرم های دیفرانسیل در همان اصول مانند چرخ ها و مرز ها صدق می کنند. اگر چه او در این مقاله به صراحت دراهام کوهمولوژی را تعریف نکرد، به آن در کارش اشاره شده بود. در سال 1938 یک تعریف رسمی از دراهام کوهمولوژی ظاهر شد.

هدف از این تحقیق مطالعه مسیله هفدهم هیلبرت و مسایلی چند در ارتباط با آن است. این پرسشها به صورت اجمالی در پی خواهند آمد و به شکل دقیق و مفضل در چندین فصل مورد مطالعه قرار خواهند گرفت. بررسی توابع همواره مثبت توابعی که به ازای تمام مقادیر دامنه یشان مقدار مثبت می گیرند در سال 1888 با طرح این پرسش از هیلبرت آغاز شد که آیا یک چندجمله ای همواره مثبت از n متغیر با ضرایب حقیقی را می توان به صورت مجموعی از مرتعات چندجمله ایهایی از n متغیر با ضرایب حقیقی نوشت. جواب منفی برای این سوال توسط هیلبرت و مینکوفسکی پیش بینی شده بود. در حقیقت بجز سه حالت خاص جواب سءال فوق منفی است. اثبات هیلبرت غیرمستقیم و پیچیده بود و اولین مثالها پس از توسط ماتزکین و رافایل م. رابینسون رله شدند. مسیله هفدهم مشابه مسیله مذکور است با این تفاوت که بجای چندجمله ایها مسیله برای عبارات گویا کسرهایی از چندجمله ایها در نظر گرفته می شود. اینکه پاسخ این پرسش مثبت است توسط آرتین رابینسون و ریاضیدانانی دیگر از دیدگاههای متفاوت اثبات شد. مسیله دیگر که به علت مثبت بودن پاسخ پرسش قبل حایز اهمیت است. بررسی وجود کرانی بالا برای تعداد جمعوندها مستقل از عبارت گویای مورد نظر و فقط وابسته به تعداد متغیرها است.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه ابتدا مثلث های استوایی (آفین و تصویری) را تعریف می کنیم که آنها از طریق شش نابرابری های صدق شده در مختصات مؤلفه ها یشان مشخص می شوند. مثلث بندی های فضای استوایی از این طریق بدست می آید. سپس خانواده ای از پایا های متریک برای مقاطع مخروطی استوایی را معرفی می کنیم. مقاطع مخروطی، بر طبق این پایاها طبقه بندی می شوند: مقاطع مخروطی سره و غیر سره وجوددارند، و جفت خط ها یک حالت خاصی از دومی هستند. پایاها کمک می کنند که مقاطع مخروطی استوایی داده شده بوسیله یک چندجمله ای دلخواه همگن سه متغیره درجه دوم را رسم کنیم، که آن یک درخت از یک نوع خیلی خاص است. همچنین نشان می دهیم که چگونه یک چندجمله ای تولید می شود، وقتی یک چنین درختی داده شده باشد. سرانجام معیاری می دهیم که معین می کند آیا یک چندجمله ای همگن سه متغیره درجه دوم تحویل پذیر است و اگر چنین است، یک تجزیه برای آن پیدا می کنیم.

هدف این پایان نامه بررسی چندجمله ای هایی است که بر روی یک بازه مثبت می باشند.