فرض کنید متغیرهای تصادفی مستقل نمایی باشند که برای ، دارای نرخ خطر باشد. همچنین فرض کنید متغیرهای تصادفی مستقل نمایی باشند که برای ، دارای نرخ خطر باشد. با اعمال شرط های بیشاندن و p – بزرگتر روی بردار های نرخ خطر و با فرض اینکه طول عمر مولفه ها دارای توزیع نمایی باشند، به مقایسه تصادفی طول عمر سیستم های موازی با استفاده از ترتیب های تصادفی پرداخته و کران پائینی برای تابع نرخ خطر و همچنین کران بالایی برای واریانس طول عمر سیستم های موازی متشکل از مولفه های نمایی ناهمگن ارئه می شود. در نهایت برخی نتایج بدست آمده به مدل phr تعمیم داده می شود. همچنین با استفاده از ترتیب تبدیل کوژ اثبات می شود که سیستم موازی با مولفه های نمایی ناهمگن، چوله تر از سیستم موازی با مولفه های نمایی همگن است.

مفهوم آماره های ترتیبی تعمیم یافته ، جهت یکپارچه نمودن مدل های مختلف آماره های ترتیبی مانند آماره های ترتیبی معمولی و مقادیر رکورد معرفی شده است. در این رساله انواع وابستگی و روابط میان آنها، ترتیب های وابستگی و اندازه های وابستگی مورد مطالعه قرار گرفت. با استفاده از مفاهیم ترتیب وابستگی افزایشی تصادفی و ترتیب وابستگی نرخ خطر معکوس به مقایسه میزان وابستگی میان دو زوج از آماره های ترتیبی می پردازیم. در پایان با در نظر گرفتن دو مجموعه ی همگن و ناهمگن از طول عمر ها، مقایسه ی میزان وابستگی میان زوج آماره های ترتیبی اکسترمم با استفاده از ترتیب وابستگی افزایشی دم راست انجام می شود.

یک سیستم 1 n-k+ از n را که تا زمان مشاهده ی k-امین شکست به فعالیت خود ادامه می دهد، در نظر بگیرید. فرض کنید این سیستم شامل n مولفه باشد، به طوری که طول عمر i-امین مولفه با متغیر تصادفی xi توصیف شود. برای مقادیر k متعلق به مجموعه ی {1n-,...,1,2} باقی مانده ی عمر مولفه های فعال بر جای مانده بعد از k-امین شکست در سیستم را با متغیرهای تصادفی x_1^((k))، x_2^((k))،...، x_(n-k)^((k)) نشان می دهیم. در این رساله توزیع توام و حاشیه ای این متغیرهای تصادفی را به دست می آوریم و شرایط کافی برای ضمانت این موضوع که توزیع طول عمر مولفه های اصلی نمایی باشد را مشخص می کنیم. در پایان نیز باقی مانده ی عمر مولفه ها و طول عمر اولیه ی آن ها و همچنین باقی مانده ی عمر مولفه های بر جای مانده از دو سیستم 1 n-k+ از n را از نقطه نظر ترتیب های تصادفی مقایسه خواهیم کرد.

به دلیل اهمیت رکوردها و کاربردشان در مسائل اجتماعی، اقتصادی، هواشناسی، ورزشی، ژئوفیزیک و صنعتی و غیره به استنباط در زمینه ی رکوردها و استفاده از آن ها برای استنباط درباره ی پارامترهای جامعه می پردازیم. یکی از مسائل اسنباطی در زمینه رکوردها، مسئله پیش بینی رکوردهای آینده بر اساس آماره مرتب مشاهده شده و آماره های مرتب آینده بر اساس رکوردهای مشاهده شده می باشد. بر این اساس در این پایان نامه، ابتدا به معرفی رکوردها اعم از رکوردهای معمولی و رکوردهای جاری و هم چنین آماره های مرتب و بیان توابع توزیع آن ها می پردازیم. در فصل دوم، نخست فواصل اطمینان ناپارامتری برای رکوردهای آینده بر اساس رکوردهای مشاهده شده از دو دنباله از متغیرهای تصادفی مستقل و هم توزیع را بیان می کنیم و در ادامه مسئله پیش بینی رکوردها بر اساس آماره های مرتب مشاهده شده و پیش بینی آماره های مرتب بر اساس رکوردهای مشاهده شده از دو دنباله مستقل را مورد بحث قرار می دهیم. احتمال های پوشش این فواصل محاسبه و جداول آن ها به ازای مقادیر مختلف را به دست می آوریم. در انتهای این فصل، با یک مثال شیوه ی استفاده از مقادیر به دست آمده را مورد ارزیابی قرار می دهیم. در فصل سوم، فواصل پیش بینی آزاد توزیع بیرونی و درونی برای مقادیر رکوردی از دنباله ی x بر اساس آماره های مرتب از دنباله مستقل y را مورد مطالعه قرار می دهیم. در این فصل فواصل پیش بینی برای رکوردهای بالا، پایین و بالا و پایین به طور همزمان بر اساس آماره های مرتب و فواصل پیش بینی درونی رکوردها بر اساس آماره های مرتب و سرانجام، فواصل فواصل پیش بینی برای فاصله رکوردها را مورد توجه قرار می دهیم. در فصل چهارم به بررسی رکوردهای جاری خواهیم پرداخت به این صورت که فواصل پیش بینی آماره های مرتب بر اساس رکوردهای جاری را محاسبه می نماییم. این فواصل بر اساس رکوردهای جاری بالا و رکوردهای جاری پایین می باشند. در ادامه، فواصل پیش بینی بر اساس پوشش رکوردی جاری را به دست می آوریم. در انتها، پیش بینی، رکوردهای جاری بر اساس آماره های مرتب شامل رکوردهای جاری بالا و رکوردهای جاری پایین را محاسبه می کنیم. سر انجام، در فصل پنجم فواصل پیش بینی درونی و بیرونی برای رکوردهای جاری بالا و پایین بر اساس آماره های مرتب را به دست خواهیم آورد. قابل ذکر است که منظور از رکوردها در این پایان نامه رکوردهای معمولی می باشد.

در این رساله ابتدا روش نمونه گیری مجموعه رتبه دار معرفی می شود و بر اساس آماره های ترتیبی نمونه مجموعه رتبه دار یک فاصله اطمینان دقیق برای چندک -ام جامعه ساخته می شود. سپس با استفاده از این فواصل اطمینان یک آزمون ناپارامتری دو نمونه ای برای تفاوت چندک بین دو جامعه به دست آورده می شود. یک برآورد نقطه ای، فاصله اطمینان و آزمون فرض آزاد توزیع برای چندک -ام جامعه بر اساس طرح نمونه گیری از زیر مجموعه های به طور جزئی مرتب شده بنا می شود. در نهایت یک استنباط دو نمونه ای آزاد توزیع بر اساس طرح نمونه گیری از زیر مجموعه های به طور جزئی مرتب شده برای پارامتر تغییر مکان بین دو توزیع انجام می شود. نشان داده می شود که طرح نمونه گیری از زیر مجموعه های به طور جزئی مرتب شده در برابر هر خطای رتبه بندی استوار است و کارایی بیشتری نسبت به طرح های رقیب یعنی نمونه مجموعه رتبه دار و نمونه تصادفی ساده در استنباط آماری به دست می دهد.

نمونه گیری مجموعه رتبه دار یک روش نمونه گیری است که نسبت به نمونه گیری تصادفی ساده از نظر کاهش هزینه و زمان دارای اهمیت است. این روش زمانی مفید است که اندازه گیری واحدهای نمونه گیری هزینه بر یا سخت باشد ولی رتبه بندی واحدها در یک مجموعه کوچک آسان و ارزان است. در این پایان نامه طرح های مختلفی از نمونه گیری مجموعه رتبه دار شامل نمونه گیری مجموعه رتبه دار استاندارد، طرح مشاهدات دنباله ای، طرح میان دامنه، طرح نمونه ای ثابت، طرح نمونه مجموعه مرتب شده رتّبه دار به منظور به دست آوردن کارایی بیشتر معرفی می شود و همچنین از آزمون علامت به عنوان یکی از روشهای اساسی در ناپارامتری، برای آنالیز داده های به دست آمده بر اساس این طرحهای نمونه گیری برای آزمون میانه استفاده می کنیم و سپس با معرفی یک آماره آزمون علامت وزنی، یک آزمون علامت بهینه برای میانه جامعه به دست می آوریم و با استفاده از نتایج به دست آمده در مورد میانه چندک های جامعه را مورد آزمون قرار می دهیم و آزمون علامت بهینه را برای چندک p –ام جامعه بدست می آوریم. در نهایت نمونه گیری مجموعه رتبه دار با متغیر همراه و نمونه گیری مجموعه رتبه دار دو متغیره را معرفی می کنیم و خواصی از آزمون علامت بر اساس روشهای نمونه گیری مطالعه می شود.

در این پایان نامه ما به مقایسه تصادفی توزیع های شرطی قابلیت اعتماد که به صورت توزیع های شرطی تعریف می شوند، پرداخته ایم. آماره های ترتیبی تعمیم یافته گروه وسیعی از آماره های با ماهیتی ترتیبی را شامل می شوند چنانچه آماره های ترتیبی معمولی و مقادیر رکورد زیرگروهی از آن هستندو واضح است قضیه هایی که برای آماره های ترتیبی تعمیم یافته بیان و اثبات می شوند در زیرگروه های آن همچون اماره های تریبی معملی مقادیر رکورد و ... نیز برقرار هستند. ابتدا به بیان مفاهیم و تعاریف اساسی مورد نیاز در این پایان نامه پرداخته ایم مقایسه های تصادفی میان آماره های ترتیبی معمولی