رساله حاضر، شامل چهار فصل است . فصل اول، که در واقع پیشنیاز بقیه فصول می باشد، مروری دارد بر تعاریف و قضایایی که، به نحوی در سه فصل آخر مورد استفاده قرار می گیرند. در فصل دوم، اعضای اول هر یک از نیمگروههای s0 (i), s (r) را بطور جداگانه مورد بررسی قرار می دهیم. در بخش اول، این فصل که مربوط است به اعضای اول s (r)، نشان می دهیم که عنصری مانند f?s (r) اول است اگر و فقط اگر برو بوده و دقیقا دو نقطه اکسترمم موضعی داشته باشد و در بخش دوم نشان می دهیم که f?s (i) اول است اگر و فقط اگر با یکی از سه تابع v, l و یا z (که بعدا معرفی خواهند شد) بطور توپولوژیکی هم ارز باشند. در حقیقت ، ثابت می کنیم که اعضای اول s0 (i) به سه دسته تقسیم می شوند. فصل سوم، اختصاص دارد به معرفی چند زیر نیمگروه متناهیا تولید شده و چگال در s (r) و s (i). در بخش اول این فصل نشان می دهیم g (r)، گروه همیومرفیسم های برو در s (r)، همراه با عناصر اول مانند f?s (r) نسبت به توپولوژی فشرده - باز در s (r) چگال هستند. در بخش دوم نیز، ثابت می کنیم گروه یکه های s (r) همراه با هر عنصر اول s0 (i) در s (i) نسبت به توپولوژی همگرایی نقطه ای چگال است و در ادامه، چند زیر نیمگروه متناهیا تولید شده با دو عنصر، چهار عنصر ... چگال ندر s (i) را معرفی می کنیم. در فصل چهارم، نشان می دهیم s (i) و s (r) دارای یک زنجیر، نامتناهی و نزولی از ایده آلها هستند و هم چنین نشان می دهیم که s (i) دارایا یک ایده آل ماکزیمال و یک ایده آل مینیمال می باشد و سپس این موارد را برای ایده آلهای یک طرفه آنها نیز تا حدی تعمیم می دهیم.