در این پایان نامه روشهای طیفی فراکروی دوگانه برای تعیین جواب تقریبی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی سهموی تحت شرایط مرزی مرکب ناهمگن مورد بررسی قرار می گیرد. معادلات دیفرانسیل جزیی با شرایط اولیه و مرزی به دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل می شود.بطوریکه ضرایب معادلات وابسته به زمان شوند. این دستگاه را به کمک جبر ماتریسی تانسورها ساده سازی شده و با یک روش گام به گام حل می شود. جهت توصیف نحوه به کار گیری این روش کاربردهای عددی آن مورد بررسی قرار می گیرد و نتایج عددی حاصل با نتایج جوابهای تحلیلی مقایسه می شوند. در پایان نتایج حاصل از تقریب طیفی به وسیله چند جمله ایهای چیبشف از نوع اول با نتایج حاصل از سایر چند جمله ایهای فراکروی مورد مقایسه قرار می گیرد.

معادلات انتگرال‎-‎‎دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی ‎و معادلات انتگرال غیرخطی دو بعدی‎ تعمیم های طبیعی معادلات انتگرال‎-دیفرانسیل و انتگرال یک بعدی هستند ‎که برای مدل سازی ساختار کلی سیستم های ایجابی با حافظه، پدیده های فیزیکی و مسایل حاصل از علوم مهندسی و کاربردی به کار می روند.‎‎‎ ‎‎‎ در این رساله، روش تاو عملیاتی را برای حل رده ای از معادلات انتگرال‎-دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی ولترا تعمیم داده و همگرایی در نرم ‎2‎ روش ارائه شده را وقتی داده های مساله به اندازه کافی هموار هستند، بررسی می کنیم.‎‎‎ ‎‎‎ در ادامه، وجود جواب یک معادله انتگرال دو بعدی از نوع همرشتاین را با استفاده از قضایای نقطه ثابت شیفر و شاودر و نامساوی تعمیم یافته گرانوال ثابت کرده و یک روش ماتریسی برای معادلات انتگرال غیرخطی دو بعدی ولترا و فردهلم بر اساس روش تاو عملیاتی به منظور بدست آوردن یک جواب تقریبی برای این معادلات ارائه می دهیم.‎‎‎ ‎‎‎ در نهایت، روش تاو عملیاتی را برای حل معادلات انتقال حرارت گذرا غیرخطی یک بعدی تعمیم می دهیم. کارایی و دقت روش های ارائه شده با نتایج عددی نشان داده می شود.