در این رساله خواصی از نگاشت های فانتوم را مطالعه می کنیم. این نگاشت ها روی مجتمعهای ضیف -توپولوژی متاهی-بستار (یا مجتمعهای cw) تعریف شده اند با این خاصیت که تحدید آنها به هر کالبد غیر اساسی است . نگاشت های فانتوم عمومی از دیدگاه ریاضی عمومی هستند. اگر فضای تعلیقی x با دسته ای از مجتمعهای متناهی-بعد هم ارز هم توپی باشد، نگاشت فانتوم عمومی روی x بدیهی است . اگر گروه آبلی hn(x;z) برای هر n به قدر کافی بزرگ متناهی باشد، عکسی مطلب فوق نیز درست است . حالت موضعی مطلب فوق بدین صورت بیان می گردد که: ph (x,y) * برای هر فضای -pموضعی y اگرو فقط اگر x(p)با دسته ای از مجتمعهای متناهی-بعد هم ارز هموتوپی باشد.

فرض کنید p یک عدد اول ثابت و g یک گروه لی فشرده باشد. یک تجزیه همولوژی برای فضای دسته بندی کننده bg، روشی است برای ساختن bg تا حد همولوژی به اندازه p به عنوان هموتوپی کولیمیتی از فضاهای دسته بندی کننده زیرگروههای g . ما در این مقاله تکنیکهایمان را برای ساختن چنین تجزیه همولوژیی گسترش می دهیم. در [21]، "جاک .سکی"، "مک لار" و "الیور" با استفاده از فضاهای دسته بندی کننده زیرگروههای -p کله شق g یک تجزیه همولوژی برای bg ساختند. تجزیه آنها بر وجود یک -g-cw مجتمع متناهی البعید با مجموعه محدود شده از انواع مدار نادوری از اندازه p پایه گذاری شده بود. ما تکنیکهایمان را برای دادن یک اثبات مشابه از تجزیه -p کله شق از bg بدون استفاده از این ساختار هندسی به کار می بریم. برای رسیدن به هدفمان، در فصل اول و دوم برخی از تعاریف اساسی را می آوریم. در فصل سوم تعابیر هموتوپی کولیمیت را برای ساختارهای شناخته شده خاصی مانند ساختمان بورل بیان می کنیم. در فصل چهارم از این حقیقت استفاده می کنیم که یک گردایه از زیرگروههای g، مثلا c، کافی است اگر -g فضای bo (c) دارای همولوژی از اندازه p یک نقطه باشد و شرایطی را بیان می کنیم که نادوری بودن از مرتبه p این فضا را نشان می دهند. در این فصل قضایایی را بیان می کنیم که به ما اجازه می دهند که اثبات قضیه همولوژی را به حالت گروههای لی فشرده با ساختارهای ساده تر (مثلا گروههایی با ابعاد کمتر یا گروههایی که آنها -p گروه است) تحویل کنیم. در فصل پنجم از این حقیقت استفاده می کنیم که -e2 جمله دنباله طیفی کوهمولوژی استاندارد "بوسفیسلد - کان" وابسته به hocolimo eg f می تواند با گروههای کوهمولوژی اکویوریانت معمولی-g فضای eo (c) با دستگاه ضرایب خاصی یکسان باشد. در واقع یک گردایه c، تیز است اگر و تنها اگر eo (c) دارای کوهمولوژی اکویوریانت یک نقطه باشد. سپس نگاشت انتقال روی کوهمولوژی اکویوریانت را که برای نشان دادن این که برای گردایه های خاص c، -e2 جمله دنباله تعریف شده در بالا دارای خواص صفرشونده خاصی است ، به کار می رود را تعریف می کنیم. در فصل ششم، ارتباطی بین تجزیه های -p پاره و -p کله شق پیدا می کنیم و بالاخره در فصل هفتم، اثبات قضیه تجزیه همولوژی را کامل می کنیم یعنی اثبات می کنیم که: قضیه: فرض کنید g یک گروه لی فشرده باشد که شامل عنصری از مرتبه p است در این صورت گردایه زیرگروههای -p پاره غیر بدیهی g کافی است و گردایه زیرگروههای -p کله شق غیر بدیهی g، تیز است .

در بسیاری از رسته ها که در توپولوژی جبری بررسی می شوند وست دو شیئی یکی از مهمترین ساختارها در آن رسته می باشد.در این رساله ما به مطالعه مفهوم وست در رسته مجتمع های سادکی و رسته فضاهای توپولویک می پردازیم و مفهوم وست دو فضای توپولوژیک را به وست تعدادی شمارشپذیر (متناهی یا نامتناهی) فضای توپولوژیک توسعه می دهیم و در نهایت به مطالعه مفهوم وست دو مجموعه سادگی می پرازیم. و ارتباط آن را با تابعگر هندسی ساز و تابعگر مجتمع تکین بررسی می نماییم و مدلی برای مفهوم کره در رسته مجموعه های سادکی که با استفاده از این تعریف وست حاصل می گردد ارائه می نماییم.

یک مدل رسته در واقع یک رسته معمولی است همراه با سه دسته خاص از ریختها به نامهای تارش ها، هم تارش ها، هم ارزیهای ضعیف، که در چند اصل موضوع ساده صدق می کنند، که تعمدا یادآور خاصیت هایی از فضاهای توپولوژیک هستند. جالب آن که این اصول موضوعه یک مفهوم مستدل و منطقی را که به گونه ای ارائه می دهند که می توان دستگاهی مقدماتی را برای مفهوم نظریه هموتوپی ارائه داد. این دستگاه می تواند به سرعت در تعداد زیادی از موقعیت هایی که این اصول موضوعه در آن صدق می کنند، به کار رود.فصل اول، شامل مفاهیم مقدماتی می باشد و ساختارهای اولیه رسته ها که برای ساختن اشیا جدید در رسته ها به کار می رود. فصل دوم، تعریفی از آنچه که مدل رسته نامیده می شود و خاصیت ها و قضیه هایی از مدل رسته را ارائه می دهد. در فصل سوم به مطالعه مفهوم ((هموتوپی)) در ‏‎c‎‏ می پردازیم و برای ارائه مفهوم رسته هموتوپی به بررسی مفاهیم شیئی استوانه ای و شیئی مسیری در مدل رسته ها می پردازیم و سپس رابطه بین آنها را در چند قضیه بررسی می کنیم. در فصل چهارم رسته هموتوپی ‏‎ho(c)‎‏ ساخته می شود. در فصل پنجم ثابت می کنیم که تابعگر ‏‎r: c --ho(c)‎‏ نسبت به ‏‎w‎‏ یعنی گردایه هم ارزیهای ضعیف یک موضعی سازی از مدل رسته ‏‎c‎‏ است. در دو فصل آخر ثابت می کنیم که بر روی رسته های ‏‎chr, top‎‏ می توان ساختار مدل رسته ای تعریف کرد.‎‏