در فصل نخست به معرفی توابع تجدید ارایش یافته و همچنین فضاهای سوپولف پرداخته می شود در فصل دوم به بررسی یک معادله دیفرانسیل پاره ای نیمه خطی در یک گوی دو بعدی می پردازیم که دارای جواب یکتاست جواب یک جریان پایدار محدود که شامل یک گردابه گذرنده بر روی یک صخره دریایی می باشد رانمایش می دهد روش اثبات استسفاده از یک صورت بندی تغییراتی و همچنین محدب مزدوج تابعکی خاص را پیشنهاد می کند. فصل سوم به بررسی یک مساله تغییراتی مفید در r2 می پردازد در این حالت انرژی جنبشی نسبت به مجوعه متشکل از اشتراک مجموعه ای از تجدید آرایش یافته های تابعی داده شده و زیر فضایی مستوی دارای همبعد یک ماکزیمم می شود ابتدا مساله را بر یک دامنه کراندارحل می کنیم گذربه دامنه بی کران توسط استخراج تخمینهایی به انجام رسیده است تانشان دهد که اعتبار جواب در یک دامنه کراندار به اندازه کافی بزرگ در حقیقت در r2 معتبر است در فصل چهارم وجود ماکزیمم کننده ها را برای همان مساله تغییراتی فصل سه البته نامقید این بار در +r3 ثابت می کنیم سرانجام در آخرین فصل یک خانواده از مسایل ماکزیمم سازی که جوابهایشان گردابه های سیالات دوبعدی رانمایش می هند در نظر گرفته و ثابت می کنیم که اگر یک دنباله مجاز از گردابه های سیالات دو بعدی را نمایش می دهند در نظر گرفته و ثابت می کنیم که اگر یک دنباله مجاز از گردابه ها را در نظر بگیریم آنگاه مراکز ثقل نظیرشان به مینیمم کننده سراسری تابع روث مرتبط با یک تابعک انرژی مناسب همگرا است

دراین پایان نامه هدف اصلی پیدا کردن شارشی باانرژی ماکزیمم با گردش شاره آغازین است. برای اینکار تابع انرژی شاره مورد نظر بصورت تابعی وابسته فقط به گردش شاره بیان شده است، نهایتا مسئله تبدیل به مسئله تغییراتی می شود. مشکل اصلی مسئله در بی کران بودن مرز است، زیرا در مسئله خاصیت فشردگی را از دست می دهیم. برای حل این معضل ابتدا ثابت می کنیم اگر مسئله با مرز یک مستطیل کراندار باشد، مسئله جواب ‏‎dss‎‏ دارد

در این پایان نامه اثبات وجود جوابهای ضعیف با درجه همواری ‏‎c ‎‏ برای معادله دیفرانسیل زیر مورد نظر است.‏‎-div (a(x) u u)= f(x,u),x r‎‏‏‎u>0 in r , lim u=0‎‏که در آن ‏‎<p<n‎‏1 و ‏‎‎‏‎>0‎‏ و ‏‎f(x,t)‎‏ تابعی کااتئودوری، ‏‎a(x)‎‏ تابعی دور از صفر و کراندار است. روشی که برای رسیدن به هدف در این پایان نامه در پیش گرفته شده به این صورت است که ابتدا یک مسئله تغییراتی از روی معادله دیفرانسیل طراحی می کنیم سپس با استفاده از روش مستقیم حل مسائل تغییراتی ثابن می کنیم مسئله تغییراتی حل پذیر است. در نهایت ثابت می کنیم که جوا مسئله تغییراتی، جواب ضعیف معادله دیفرانسیل نیز هست.در قسمت دیگر فصل آخر این پایان نامه ثابت می کنیم جواب معادله دیفرانسیل به ازای هر ‏‎np / n-p <q<به فضای ‏‎l ‎‏ متعلق است و درجه هواری آن ‏‎c ‎‏ است.سه فصل اول این پایان نامه مقدماتی از مباحث آنالیز حقیقی، آنالیز تابعی و حساب تغییرات را که پیش نیاز فصل اصلی (چهارم) هستند تشریح می کنند و فصل چهارم به اثبات هدف مورد نظر می پردازد