در دو دهه اخیر برای تقریب توابع چند متغیره معمولا از توابع پایه شعاعی استفاده می کنند توابع پایه شعاعی و مشتقاتش حالت کلاسیکی دارد. این توابع با استفاده از گرهها براحتی بدست می آیند در این پایان نامه دقت و کارایی این توابع را در تقریب توابع چند متغیره توضیح می دهیم. و بعد از این توابع برای تقریب جواب pde به روش هم محلی استفاده می کنیم. و کاربرد توابع پایه شعاعی در تقریب جواب pde را با fem مقایسه می کنیم. توابع شعاعی پارامتری mq,imq,g دارای ویژگی همگرایی نمایی نسبت به پارامتر c می باشند هر چند که برای انتخاب c بهینه راه حلی وجود ندارد ولی باز هم این توابع وجود تقریب را تضمین می کنند در مثالهای عددی از توابع پایه شعاعی پارامتری استفاده می کنیم. بو با چند مثال مقدار خطا و جواب تقریبی حاصل را برای درونیابی و تقریب جواب pde به روش هم محلی نشان می دهیم

در این پروژه سعی ما بر این است که یک اثبات ساختاری از بهترین کرانهای خطا برای سه نوع از درونیابهای اسپلاین با نارسائی اراده کنیم. هدف اصلی ما آوردن کران خطائی به فرم است ، که البته cn بهترین مقدار ممکن را دارد. در این فرمول s، اسپلاین درونیاب از درجه زوج و یا فرد تابع f است . ما در فصل چهارم و پنجم به ترتیب بهترین کران خطا را برای اسپلاین درونیاب آن یعنی s، ما درونیاب هرمیتی f یعنی چند جمله ای u را روی هر زیر بازه از افراز مورد نظر معرفی خواهیم کرد. برای بدست آوردن کرانی برای f-u از یک نتیجه استاندارد برای درونیابی هرمیتی استفاده میکنیم. از طرف دیگر برای بدست آوردن کران خطائی برای u-s، مجبور به مطالعه اولین دو مشق مرتبه بالای f-s که در گره ها صفر نمی شوند، هستیم. مطالعه این موارد تجلیل دو هسته مناسب را که مبتنی بر شرایط بدست آمده از یک انتگرالگیری جز به جزء است ایجاب میکند. در ساختن این هسته ها ما از دو تابع بنام اسپلاین های اساسی کمک خواهیم گرفت .

در این مقاله، مسئله تخصیص منبع غیرخطی با تعریف "می نیمم سازی از یک تابع محدب با یک شرط محدب با متغیرهای صحیح کراندار" مطرح گردیده است . این مسئله با گوناگونی کاربردها مواجه شده است از جمله برنامه ریزی ظرفیت در صنعت و شبکه های کامپیوتری - برنامه ریزی تولید - نمونه گیری طبقه ای. در حل این نوع مسائل الگوریتم "انشعاب و تحدید" را توسعه خواهیم داد. نخست قالب عمومی برای حل مسئله با متغیرهای پیوسته ارائه داده و سپس این قالب را بعنوان ابزار اساسی برای الگوریتم بکار خواهیم برد. همچنین شیوه بهینه سازی مجدد و راهنما که الگوریتم انشعاب و تحدید را بهتر پیاده می کنند را ارائه خواهیم نمود. نهایتا نشان خواهیم داد که چگونه الگوریتم می تواند در حل مسائل غیرمحدب با تابع هدف مقعر اصلاح گردد.

این پایان نامه بر روی حل معادلات ‏‎kt‎‏ به وسیله روشهای ‏‎abs‎‏ متمرکز شده است. برای این منظور ابتدا روشهای ‏‎abs‎‏ و ویژگیهای اساسی رده ‏‎abs‎‏ برای حل دستگاههای خطی و نیز یک سری از الگوریتمهای مهم هوانگ ، هوانگ اصلاح شده و گاوس-چالسکی ضمنی را مطرح می کنیم. سپس معادلات ‏‎kt‎‏ و روشهای کلاسیکی همچون روش ‏‎aasen‎‏ و روش مبتنی بر تجزیه ‏‎qr‎‏ برای حل این معادلات را معرفی می کنیم و بررسی می کنیم که چگونه الگوریتمهای ‏‎abs‎‏ را می توان برای حل این معادلات به کار برد . نهایتا با پیاده سازی روشهای کلاسیک و روشهای ‏‎abs‎‏ بر روی دسته ای از مسایل آزمون نشان می دهیم که الگوریتمهای ‏‎abs‎‏ کارا هستند.

دراین پایان نامه ، یک روش تحقیقی عددی برای مسائل مقدار مرزی ارائه می شود که به کمک قضیه نقطه ثابت باناخ وجود و یکتایی موضعی جوابها بررسی شده و حل میگردد. در فصل اول، با بررسی قضیه نقطه ثابت باناخ و کاربردهای آن در روندهای تکراری برای حل معادلات غیرخطی ، ابزار اصلی مورد استفاده در این پایان نامه را فراهم می گردد. فصل دوم ، مفهوم مشتق کلاسیک را در فضاهای باناخ تعمیم می دهد. فصل سوم را به این موضوع اختصاص داده و بیشتر توجه خود را معطوف به معادلات بیضوی نموده و سه نوع شرایط مرزی در مطالعه معادلات بیضوی مورد توجه قرار گرفته است.در فصل چهارم ، به بررسی مساله گلفند و مساله مختل شده گلفند پرداخته و شرایط و خواص این مسائل را تحلیل خواهد نمود. در نهایت در فصل پنجم روش تحقیقی عددی مورد بحث را ارائه می دهد.